曲线平滑算法：三次Hermite曲线生成

2023-10-26

Hermite曲线是通过给定曲线的两个端点的位置矢量 $P_{0}$ 、 $P_{1}$ 以及两个端点处的切线矢量 $R_{0}$ 、 $R_{1}$ 来描述曲线的，如图1所示。这里先对Hermite曲线进行数学公式推导，然后讲述如何绘制Hermite曲线。（这里是算法代码）

1.三次Hermite曲线的参数方程

三维空间中的自由曲线用三次参数方程表示可以用以下的形式：

$\left\{\begin{matrix} x(t)=a_{x}t^{3}+b_{x}t^{2}+c_{x}t+d_{x}\\ y(t)=a_{y}t^{3}+b_{y}t^{2}+c_{y}t+d_{y} \\ z(t)=a_{z}t^{3}+b_{z}t^{2}+c_{z}t+d_{z} \end{matrix}\right.$

或者：

$Q(t)=at^{3}+bt^{2}+ct+d$

其中，参数t的取值范围是 $t\in [0,1]$ ，这是归一化坐标，表示从端点1到端点2的的相对距离。

将以上参数方程改写为矩阵形式为：

$Q(t)=\begin{bmatrix} t^{3} &t^{2} & t& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ d \end{bmatrix}$

若令

$T=\begin{bmatrix} t^{3} & t^{2} &t & 1 \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} a &b &c & d \end{bmatrix}^{T}$

则

$Q(t)=T\cdot C$

对参数t的一阶导数得：

$Q^{'}(t)=\begin{bmatrix} 3t^{2} &2t &1 &0 \end{bmatrix}\cdot C$

假定已知曲线的两个端点的位置矢量 $P_{0}$ 、 $P_{1}$ 以及两个端点处的切线矢量 $R_{0}$ 、 $R_{1}$ ，如图1所示。注意位置矢量和切线矢量都有x,y等分量。这四个量实际上对应于将t=0好t=1代入 $Q(t)$ 、 $Q^{'}(t)$ 得到的结果，即：

$P_{0}=Q(0)=\begin{bmatrix} 0 & 0& 0 & 0 \end{bmatrix}\cdot C$

$P_{1}=Q(1)=\begin{bmatrix} 1 & 1 &1 &1 \end{bmatrix}\cdot C$

$R_{0}=Q^{'}(0)=\begin{bmatrix} 0 & 0& 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot C$

$R_{1}=Q^{'}(1)=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot C$

用矩阵方程表示为：

$\begin{bmatrix} P_{0}\\ P_{1}\\ R_{0}\\ R_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0& 0& 1\\ 1& 1 &1 & 1\\ 0 & 0& 1 &0 \\ 3& 2& 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot C$

则

$C=\begin{bmatrix} 0 & 0&0 &1 \\ 1& 1& 1 &1 \\ 0& 0& 1& 0\\ 3& 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} P_{0}\\ P_{1}\\ R_{0}\\ R_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -2& 1&1 \\ -3& 3 & -2 & -1\\ 0& 0 & 1& 0\\ 1& 0& 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} P_{0}\\ P_{1}\\ R_{0}\\ R_{1} \end{bmatrix}$

令

$M_{h}=\begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 &1 \\ -3& 3 & -2 &-1 \\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0 \end{bmatrix}$

$G_{h}=\begin{bmatrix} P_{0} & P_{1} & R_{0} & R_{1} \end{bmatrix}^{T}$

$M_{h}$ 即为Hermite矩阵，为常数， $G_{h}$ 为Hermite几何矢量。

则

$C=M_{h}\cdot G_{h}$

于是曲线又可以表示为：

$Q=T\cdot M_{h}\cdot G_{h}$

因为上面的 $Q$ 和 $G_{h}$ 都是三维空间的矢量，有x,y,z三个分量：

$G_{hx}=\begin{bmatrix} P_0x & P_{1x} &R_{0x} &R_{1x} \end{bmatrix}^{T}$

$G_{hy}=\begin{bmatrix} P_0y & P_{1y} &R_{0y} &R_{1y} \end{bmatrix}^{T}$

$G_{hz}=\begin{bmatrix} P_0z & P_{1z} &R_{0z} &R_{1z} \end{bmatrix}^{T}$

于是将曲线Q展开成分量形式如下:

$x=T\cdot M_{h}\cdot G_{hx}$

$y=T\cdot M_{h}\cdot G_{hy}$

$z=T\cdot M_{h}\cdot G_{hz}$

显然，只要给定 $G_{h}$ ,就可以在 $0\leq t\leq 1$ 的范围内求出 $Q(t)$ ，形成曲线上点的轨迹。 $T\cdot M_{h}$ 称之为Hermite基函数。对基函数进行进一步展开，得到四个分量：

$F_{0}(t)=2t^{3}-3t^{2}+1$

$F_{1}(t)=-2t^{3}+3t^{2}$

$F_{2}(t)=t^{3}-2t^{2}+t$

$F_{3}(t)=t^{3}-t^{2}$

于是曲线上的轨迹点，又可以通过以下公式表示：

$x(t)=P_{0x}\cdot F_{0}(t)+P_{1x}\cdot F_{1}(t)+R_{0x}\cdot F_{2}(t)+R_{1x}\cdot F_{3}(t)$

$y(t)=P_{0y}\cdot F_{0}(t)+P_{1y}\cdot F_{1}(t)+R_{0y}\cdot F_{2}(t)+R_{1y}\cdot F_{3}(t)$

$z(t)=P_{0z}\cdot F_{0}(t)+P_{1z}\cdot F_{1}(t)+R_{0z}\cdot F_{2}(t)+R_{1z}\cdot F_{3}(t)$

2. 三次Hermite曲线的绘制

这里是代码下载链接：Hermite曲线绘制代码

三次Hermite曲线的绘制，需要四个参数进行控制，分别是两个端点坐标和两个端点处的切线矢量，比如给定两个点的三维坐标P0(1,4,0）、P1(2,6,0）,以及两个端点的切线矢量R0(1,-1,0)、R1(1,-1,0)，其绘制的Hermite曲线如下：

对于多点Hermite平滑，则是从头到尾，逐步取相邻的两个点，分别求出两点之间的Hermite曲线轨迹，比如，6个散点的Hermite曲线绘制的图像如下：

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