矩形函数的数值傅里叶变换

本文的目的是通过一个众所周知的分析傅里叶变换示例来正确理解 Python 或 Matlab 上的数值傅里叶变换。为此，我选择矩形函数，这里报告了它的解析表达式及其傅立叶变换https://en.wikipedia.org/wiki/Rectangle_function https://en.wikipedia.org/wiki/Rectangular_function

这是Matlab中的代码

x = -3 : 0.01 : 3;
y = zeros(length(x));
y(200:400) = 1;
ffty = fft(y);
ffty = fftshift(ffty);
plot(real(ffty))

这里是 Python 代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-3, 3, 0.01)
y = np.zeros(len(x))
y[200:400] = 1
ffty = np.fft.fft(y)
ffty = np.fft.fftshift(ffty)
plt.plot(np.real(ffty))

在这两种编程语言中，我都得到了一些结果，但存在一些问题： 首先，傅立叶变换并不像预期的那样真实，而且即使选择实部，解看起来也不像解析解：事实上，这里报告的第一个图至少在形状上应该是这样，第二个图是我从计算中得到的结果。

有谁可以建议我如何分析计算矩形函数的傅里叶变换？

您的 Matlab 代码有两个问题：

First, y = zeros(length(x));应该y = zeros(1,length(x));。当前您创建的是方阵，而不是向量。

其次，DFT（或 FFT）将是实数且对称的，如果y是。你的y应该是对称的，这意味着关于0。所以，而不是y(200:400) = 1; use y(1:100) = 1; y(end-98:end) = 1;。回想一下，DFT 就像信号的傅立叶级数，您的输入只是一个周期，第一个样本对应于时刻 0。

So:

x = -3 : 0.01 : 3;
y = zeros(1,length(x));
y(1:100) = 1; y(end-98:end) = 1;
ffty = fft(y);
ffty = fftshift(ffty);
plot(ffty)

gives

>> isreal(ffty)
ans =
     1