程序员经验分享-hwhale

协方差与自相关

2023-05-16

协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的协方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

假设X是以n个标量随机变量组成的列向量，

X = \begin{bmatrix}X_1 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix}

并且\mu_i是其第i个元素的期望值，即, \mu_i = \mathrm{E}(X_i)。协方差矩阵被定义的第i，j项是如下：

\Sigma_{ij}= \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix}(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)\end{bmatrix}

即：

\Sigma=\mathrm{E}\left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^\top\right]

=\begin{bmatrix} \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)]\end{bmatrix}


期望值分别为E(X)=\mu与E(Y)=\nu的两个实数随机变量X 与Y 之间的协方差定义为：

\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}((X - \mu) (Y - \nu))，

其中E是期望值。它也可以表示为：

\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}(X \cdot Y) - \mu \nu，

如果X 与Y 是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0，这是因为

E(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y)=\mu\nu,

但是反过来并不成立，即如果X 与Y 的协方差为0，二者并不一定是统计独立的。

取决于协方差的相关性η

\eta = \left| \dfrac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X) \cdot \operatorname{var}(Y)}} \right| ,

更准确地说是线性相关性，是一个衡量线性独立的无量纲数，其取值在[0,+1]之间。相关性η = 1时称为“完全线性相关”，此时将Yi对Xi作Y-X 散点图，将得到一组精确排列在直线上的点；相关性数值介于0到1之间时，其越接近1表明线性相关性越好，作散点图得到的点的排布越接近一条直线。

在统计学中，特定时间序列或者连续信号 Xt 的自协方差是信号与其经过时间平移的信号之间的协方差。如果序列的每个状态都有一个平均数 E[Xt] = μt，那么自协方差为

\, \gamma(i,j) = E[(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)].\,

其中 E 是期望值运算符。如果 Xt 是二阶平稳过程，那么有更加常见的定义：

\, \gamma(k) = E[(X_i - \mu)(X_{i-k} - \mu)].\,

其中 k 是信号移动的量值，通常称为延时。如果用方差 σ2 进行归一化处理，那么自协方差就变成了自相关系数R(k)，即

R(k) = \frac{\gamma(k)}{\sigma^2}.\,

需要注意的是，在有些学科中自协方差术语等同于自相关。

将一个有序的随机变量系列与其自身相比较，这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的系列，都与其自身相似，即在此情况下，自相关函数值最大。如果系列中的组成部分相互之间存在相关性（不再是随机的），则由以下相关值方程所计算的值不再为零，这样的组成部分为自相关。

R(k) = \frac{E[(X_i - \mu_i)(X_{i+k} - \mu_{i+k})]}{\sigma^2}
E ......... 期望值。
X_i ........ 在t(i)时的随机变量值。
\mu_i ........ 在t(i)时的预期值。
X_{i+k} .... 在t(i+k)时的随机变量值。
\mu_{i+k} .... 在t(i+k)时的预期值。
\sigma^2 ......... 为方差。

所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值，-1则为最大负相关值，0为不相关。


本文内容由网友自发贡献，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有涉嫌抄袭侵权的内容，请联系:hwhale#tublm.com(使用前将#替换为@)

协方差与自相关 的相关文章

随机推荐

  • 漫步数学分析三十五——乘法法则与梯度

    微分中另一个有名的法则是乘法法则或莱布尼兹法则 定 理 6 令 A R n 是开集 xff0c f A R m g A R 是可微函数 xff0c 那么 g f 是可微的并且对于 x A D g f x R n R m 为 D

  • CAN总线标准及协议分析

    目录 1 简介 2 CAN总线标准 2 1 物理层 2 1 1 CAN总线网络 2 1 2 CAN收发器 2 1 3 CAN信号表示 2 1 4 CAN信号传输 2 2 数据链路层 2 2 1 数据帧 2 2 1 1 帧起始与结束帧 2 2

  • Eclipse中Python开发环境搭建详细图文教程(Windows环境)

    转载请注明出处 Eclipse可便捷的集成开发Python xff0c 这里我们为了更好地使用Python进行机器学习 xff0c 首先进行Eclipse中Python开发环境的搭建 一 下载EclipseIDE 下载地址 xff1a ht

  • FreeRTOS系列|多任务调度

    多任务调度 1 多任务启动流程 多任务启动流程如下表所示 启动后以下各函数由上至下依次执行含义osKernelStart 启动内核vTaskStartScheduler 启动任务调度器xPortStartScheduler 启动调度器prv

  • Realsense d435i驱动安装、配置及校准

    写在前面 本文是在ubuntu20 04下安装 xff0c 其它版本大同小异 可能出现的问题 xff0c 主要由各自安装相关库版本不一致导致 xff0c 故问题不一 xff0c 但一般很好解决 xff0c 正常情况下不会出现 Intel R

  • Realsense d435i内参、外参标定

    使用工具code utils imu utils kalibr对Realsense d435i 内参 外参标定 本文介绍上述工具的安装 xff0c 及标定方法 一 code utils安装 1 建立工作空间 mkdir p calibrat

  • 从零完成slam实战，以Vins-Fusion为例

    写在前面 1 本文以vins fusion为例 xff0c 是因为其框架正统 简单清晰 xff0c 易于调试和后续改进 xff1b camera imu外参及同步时间td可实时估计 xff1b 已有融合gps方案且较为容易可添加融合其它传感

  • Vins-Fusion整体框架，数据流分析

    一 VINS Fusion VINS Fusion是一种基于优化的多传感器状态估计器 xff0c 可实现自主应用 xff08 无人机 汽车和AR VR xff09 的精确自我定位 VINS Fusion是VINS Mono的扩展 xff0c

  • Vins-Fusion初始化位姿——3D-2D：PNP求解当前帧位姿

    继上一篇博文Vins Fusion 外参camera imu 标定 xff0c 本文继续介绍Vins Fusion初始化时 xff0c 通过PNP求解当前帧位姿 一 3D 2D xff1a PNP PnP是求解3D到2D点对运动的估计 xf

  • ORB_SLAM3启动流程以stereo_inertial_realsense_D435i为例

    概述 ORB SLAM3 是第一个同时具备纯视觉 xff08 visual xff09 数据处理 视觉 43 惯性 xff08 visual inertial xff09 数据处理 和构建多地图 xff08 multi map xff09

  • BoW（词袋）模型详细介绍

    最近学习BoW模型 xff0c 将自己网上看到的资料及对论文的理解 xff0c 将BoW模型总结如下 xff01 BoW模型 Bag of words model BoW model 最早出现在自然语言处理 xff08 Natural La

  • Win10 VS Code + CMake STM32开发环境

    Win10 VS Code 43 CMake STM32开发环境 软件 软件安装与环境变量的配置不多讲 xff0c 这步都搞不定还是老老实实用MDK把 VS Codecmake 插件 c c 43 43 插件mingwgcc arm non

  • makefile 转 cmake STM32工程

    makefile 转 cmake STM32工程 STM32开发由MDK转到 vscode好久了 每次新建工程 xff0c stm32cubemx生成代码都要手动把makefile转到cmake xff0c 好烦 xff0c 特别一下小的频

  • STM32使用FreeRtos + C++

    编译环境 MDK5 25 gcc arm7 2 C文件不可包含CPP的头文件 C调用C 43 43 函数 在CPP文件内编写C函数 xff0c 头文件声明 头文件不可出现C 43 43 关键字 在main中调用此函数作为程序入口即可 voi

  • FreeRTOS系列|时间管理

    FreeRTOS时间管理 1 FreeRTOS延时函数 在使用FreeRTOS的过程中经常会在一个任务中使用延时函数对该任务延时 xff0c 当执行延时函数的时候就会进行任务切换 xff0c 并且此任务就会进入阻塞态 xff0c 直到延时完

  • 【Linux C与C++一线开发实践】之一 Linux概述与Linux C++开发

    Linux系统启动的基本过程 对于一台Linux系统来说 xff0c 用户按下开机按钮后 xff0c 一共要经历如下几个过程

  • 【Linux C与C++一线开发实践】之三 Linux多进程

    进程是操作系统结构的基础 进程是一个具有独立功能的程序对某个数据集在处理机上的执行过程 xff0c 进程也是作为资源分配的一个基本单位 Linux作为一个多用户 多任务的操作系统 xff0c 必定支持多进程 多进程是现代操作系统的基本特征

  • C++--结构体和类

    结构体和类只有一个区别就是前者访问控制默认为public xff0c 而类的默认访问控制是private 而对于public private protected的访问控制都是在编译期间由编译器检查的 xff0c 编译通过后 xff0c 程序

  • 嵌入式开发工程师面试题 – C语言部分

    嵌入式开发工程师面试题 C语言部分 申明 xff1a 来源于嵌入式开发工程师面试题 C语言部分 和 网摘 xff09 xff01 1 内核的裁剪怎么裁剪 解析 xff1a 在linux 下的ubuntu 上面做内核的 裁剪 xff0c 主要

  • 协方差与自相关

    协方差矩阵是一个矩阵 xff0c 其每个元素是各个向量元素之间的协方差 这是从标量随机变量 到高维度随机向量 的自然推广 假设是以个标量随机变量组成的列向量 xff0c 并且是其第i个元素的期望值 xff0c 即 协方差矩阵被定义的第i x

热门标签