什么是控制系统的数学模型呢？
顾名思义，数学模型即为用数学表达式反应出客观事物的特征与其内部的联系，而控制系统的数学模型就是描述系统动态特性与各个变量之间的关系。
举个简单的例子：
该系统的模型为二阶的微分方程：
先确定输入量为f(t)，输出量为y(t)
则由牛顿第二定律：
【注】对于这个微分方程，我们也可以这样理解：f(t)为向下的力，ky(t)为弹簧施加的向上的阻力，而m则为质量块的惯性力，它与弹簧的弹力有相同的性质：总是阻碍受力物体的运动，即施加力的方向总是与受力物体的运动方向相反，因此上式即为作用于质量块上向上的力等于向下的力。
一般来说，建立元件或系统的微分方程可依据以下步骤进行：
(1)确定系统或者元件的输入量、输出量。
(2)按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，依据各变量所遵循的运动规律，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程。
(3)消去所列各微分方程组的中间变量，从而得到描述系统的输入、输出量的微分方程。
(4)整理所得微分方程。
机械系统
1.机械平移系统
在常见的机械平移系统的模型中，有三个基本的无源元件：质量m，弹簧k，阻尼器c。
质量是一种耗能元件，主要用来吸收系统的能量，并转换成热能耗散掉，体现系统的惯性力：
弹簧属于储能元件，存储弹性势能，体现弹性力
阻尼器是系统中的储能元件，存储平动动能，产生粘性摩擦的阻尼力
在上例的基础上，增加一个阻尼器：
1
)首先确定系统的输入量和输出量：
由图可知对质量块施加力f，在弹簧和阻尼器的共同作用下，系统向下产生了位移y,即f(t)为输入量，y(t)为输出量。
2)整个系统遵守牛顿第二定律：
3)整理后，习惯地将输出量放在等式左端，输出量放在等式右端：
上式即为该系统的控制模型，一个二阶的微分方程。
在此基础上再加一个阻尼器和质量块：
1)同样，f(t)为输入量，y(t)为输出量
2)此时，输入与输出之间没有必然联系，则通过假设中间变量x(t)为质量块m1的竖直位移，即可找到两者的关系：
先对局部系统列写平衡方程：
再对质量块m2列写平衡方程：
联立以上两个方程，消去中间变量，整理后即为该系统的控制模型：
机械转动系统
回转运动所包含的要素有惯量、扭转弹簧、回转粘性阻尼。上图为在扭矩 M作用下的转动机械系统，扭矩和转角间的微分方程为：
以下图为例，M为输入外力矩，w为输出的角速度
则该系统的微分方程为
当输出量为转角时，微分方程为：
RLC电网络系统
电网络系统模型中，通常包含三种线性双向的无源元件：电阻R，电感L，电容C。
电感是一种储存磁能的元件； 电容是储存电能的元件；
电阻是一种耗能元件， 将电能转换成热能耗散掉。
该系统输入量为Ur，输出量为Uc。
假设中间变量i1和i2建立输入，输出变量的关系，则对L1回路使用KVL定律：
对L2列写KVL方程：
且由
消去中间变量：
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☞ 作者：知识旅途
