舍选抽样法
§2.0 概率与统计 §2.1 Monte Carlo方法 §2.2 伪随机数 §2.3 任意分布的伪随机变量的抽样 则，xy 联合分布密度函数为 其中， 代入Jacobi行列式，有 改进的Maraglia方法: (1) 产生[0,1]区间上的独立均匀分布随机数u,v (2) 计算 (3) 如果 w>1，回到步骤(1)；否则，执行(4) (4) 计算 (5) 得到二维相互独立标准正态分布抽样 u,v∈[0,1] w >1? X=uz Y N w=(2u-1)2+(2v-1)2 z=[-2lnw/w]1/2 舍选效率~21% 3. 舍选抽样法： 第三类舍选 不易直接抽取随机变量X分布f(x), 而与随机变量Y联合分布密度g(x,y)存在 联合分布 Page5 数学上 可构造 其中 ① 函数h(x)取值在y定义域上 ② 常数L的定义为 (2.3.38) Page2 Bayes公式 则有 子样h≤x概率等于在hy≤h(hx)条件下，hx≤x出现的概率 按g(x,y)抽取(hx,hy) hy≤h(hx)? h=hx Y N 第三类舍选抽样步骤： ⑴ 由联合分布密度函数g(x,y)抽取随机向量 ⑵ 判别 是否成立; 若不成立, 返回⑴ ⑶ 取分布密度函数f(x)的抽样值 抽样效率1/L 例：各向同性方位角余弦的抽样 解：① 物理含义f∈ [0,2p]各向同性 ? h=cos(2px) ② 密度函数 直接抽样 需要计算cos函数 解③ 独立抽取均匀分布x1 与 x2，定义 (x1,x2)到(x,y)变换抽样 则构造(x,y)联合密度函数 类比构造h(x)与L 则有 N Y 抽样： 改进： N Y 效率1/L=p/4 第二类舍选 抽样密度函数 抽样效率 判据函数 如x,y相互独立， ，且y为均匀分布 则有 在y的定义域上 判据 抽样 效率 则对任意密度函数构造 判据 抽样 效率 ① Y均匀分布g2(y)=1 ? 0≤h(x)≤1，即 ② 密度概率函数g(x)，易于抽样 x, 按g(x)抽取hg y=x≤h(hg)? hx=hg Y N 抽样效率1/L 例 采用第二类舍选抽样标准正态分布 解：不存在反函数，凑二类舍选函数形式 效率： 判据： 指数直接抽样： 偶函数： Y N 第一类舍选 二类舍选中，如抽样概率密度函数g(x)均匀分布，则 x1,x2 Y N 例 对随机变量抽样 解：① 反函数法 ，直接抽样 ② 第一类舍选 Y N ③ 改进 ④ 推广 4. 复合抽样法： 复合分布密度函数 ① 根据密度函数h(y)抽样 ? ② 根据条件密度函数 抽样 ? 加分布抽样 复概率密度函数 ① 取[0,1]区间上均匀分布随机数 , 解下不等式求n ② 找到对应的 ，对其抽样得到 其中 抽样步骤： 例：球壳均匀分布的抽样 例：① 积分求分布函数，直接抽样 ② 变量代换 密度函数 第二章 蒙特卡洛方法 - 和概率A.OR.B ： P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) - 与概率A.AND.B： P(A*B) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A) - 条件概率 P(A|B) = 在随机事件B发生的条件下，A发生的概率 - 互斥 P(A*B) = 0，ie 随机事件AB不能在同一实验中同时发生 - 相互独立 P(A*B) = P(A)*P(B)，ie P(A)=P(A|B)=P(A|1) 古典概率： 在相同的实验条件下，随机事件A，B按各自确定的概率发生 全概率公式： 贝叶斯Bayes公式： 随机事件A构成互斥完备集合{Ai}，则任意随机事件B可表述为 随机变量Ｘ: １)在相同的确定实验条件下，对Ｘ的观测无法给出单一固定值; ２)必须依据遍举测量原则，对所有可能取值给出发生概率 离散变量举例: 3MeV光子入射屏蔽铅板的全吸收反应过程 反应类型X :光电效应Compton散射电子对产生 反应几率 : e1e2e3 e1 + e2 + e3 = 100% 其中 i.e. 连续型随机变量: Ｘ在连续区间取值，其取某确定值的概率由分布密度函数给出 分布函数 则有 联合分布密度: 描述两个(i.e.多维)随机变量Ｘ与Ｙ的相互关联 相互独立: 函数的分布密度: 随机变量Ｘ密度函数f(x),其函数Ｙ=Ｙ(Ｘ)的密度函数 则 几率密度相同 变量变换Jaccobi 随机变量的特征值 1) 期望值(mean): 出现几率最大或概率中心的观测值 2) 方差(standard deviation): 随机
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