现代控制理论2——状态空间分析法

注：本文是在MOOC平台上学习西北工业大学《现代控制理论基础》（郭建国、赵斌、郭宗易）的课程进行随笔记录与整理

一.状态空间描述的相关概念

1.系统模型包括：

内部结构，以及内部结构反应的内部信息
比较基本的例子：电路图反应的电路结构，和其中的电流电压

2.状态向量与状态空间：

状态向量：
对状态采用变量来表示。是描述系统活动的一组独立（数量最少）的变量。
把n个变量看成向量，即状态向量。
状态空间：以n个状态向量扩展成的空间
利用状态空间的线性相关性，来解决状态变量数目最小的问题即：
状态向量的选取不唯一，但是个数唯一，互相间线性无关

3.状态轨迹：

随着时间推移，系统状态在状态空间中描绘出的一条轨迹

二.状态方程与输出方程

状态方程

状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量 关系的表达式
状态变量：n个；输入：p个
注：1.有非唯一性
2.状态方程中不含输入变量的导数（按阶跃或分段时，输入变量不可导）

线性定常系统状态方程的矩阵形式：
x`(t) = Ax(t) + Bu(t)
A：系统矩阵/系数矩阵/状态矩阵
B：输入矩阵

输出方程

注：1.有非唯一性（由状态变量决定）
2.是一个代数方程，而不是一阶微分方程
线性定常系统矩阵形式：
y = Cx + Du
C：输出矩阵
D：前馈矩阵

线性化与线性变换

对于非线性方程，在写法上只能用f(x1,x2…u1,u2…)的形式，不是很便于之后的讨论。因此提出对其进行线性化。

平衡点

x`=f(x,u)=0 与 y=g(x,u)=0
联立解得的（x0,u0），即平衡点

在平衡点处线性化

在平衡点处，按泰勒级数展开，二次偏导及以上各项和是高阶无穷小时，才能线性化。
注意：
求偏导时：列向量对行向量求偏导
例如：

得到的线性定常连续系统的线性化模型：
Δx`= AΔx + BΔu
Δy = CΔx + DΔu

略去Δ得：
x`=Ax+Bu
y=Cx+Du

动态方程的线性变换

线性变换矩阵是：可逆矩阵，非奇异矩阵

两种变换方式，要注意是由谁变换到谁：