伽马函数
称以下函数
Γ
(
α
)
=
∫
0
∞
x
α
−
1
e
−
x
d
x
\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha -1}e^{-x}{\rm d}x
Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx
为 伽马函数,其中参数
α
>
0
\alpha>0
α>0,伽马函数具有以下性质
1.
Γ
(
1
)
=
1
,
Γ
(
1
2
)
=
π
\Gamma(1)=1,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
Γ(1)=1,Γ(21)=π
2.
Γ
(
α
+
1
)
=
α
Γ
(
α
)
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)
Γ(α+1)=αΓ(α).当
α
\alpha
α 为自然数
n
n
n 时,有
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
=
n
!
\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!
Γ(n+1)=nΓ(n)=n!
贝塔函数
称以下函数
B
(
a
,
b
)
=
∫
0
1
x
a
−
1
(
1
−
x
)
b
−
1
B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}
B(a,b)=∫01xa−1(1−x)b−1
为 贝塔函数 ,其中参数
a
>
0
,
b
>
0
a>0,b>0
a>0,b>0,贝塔函数具有以下性质
-
B
(
a
,
b
)
=
B
(
b
,
a
)
B(a,b)=B(b,a)
B(a,b)=B(b,a)
- 贝塔函数与伽马函数间有关系
B
(
a
,
b
)
=
Γ
(
a
)
Γ
(
b
)
Γ
(
a
+
b
)
B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
B(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)
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