（1）超平面方程
3维空间中平面方程的一般形式：
(1)
我们都知道
为平面到原点的距离。这里简单证明超平面的法向量为
。
d维空间平面方程的一般形式：
(2)
平面的法向量为
，（分号表示列向量）。
（2）向量表示
3维空间中的向量
可以用点坐标
来表示。向量
表示一个过原点与该点的向量。
两个向量和
垂直的充要条件为：
(3)
即，
(4)
（3）超平面的法向量
为什么超平面的法向量为？
以3维空间为例，设平面上任意两点
,
，由于两个点都在平面上，所以均满足平面方程：
上两式相减得：
(5)
连线构成的向量为
由式(5)可知，向量
。
由于,是平面上任意两点，所以为平面上任意一条直线。
所以，向量与三维平面(1)上任意一条直线垂直，它就是平面(1)的法向量。
同理，扩展到d维空间超平面(2)的法向量为：。
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