第二讲：线性表示及坐标
一、线性表示
1.线性表示定义：
设β是线性空间V中的向量，若存在V中一组向量{α1，α2，…，αn}，及一组数x1，x2，…，xn∈F，使得：
β= x1α1+x2α2+…+xnαn
则称向量β能被向量组{α1，α2，…，αn}线性表示（线性表出）。
2.线性相关
设{α1，α2，…，αn}是线性空间V中的一组向量，若存在一组全不为零的数：x1，x2，…，xn使得：
x1α1+x2α2+…+xnαn = 0
则称向量组{α1，α2，…，αn}线性相关。
3.线性无关
设{α1，α2，…，αn}是线性空间V中的一组向量，若存在一组全不为零的数：x1，x2，…，xn使得：
x1α1+x2α2+…+xnαn ≠ 0
则称向量组{α1，α2，…，αn}线性无关。
注：
1）{α1，α2，...，αn}线性无关的充要条件是：（证明线性无关的主要方法）
x1α1+x2α2+...+xnαn = 0 <=> x1=x2=...=xn=0
2){α1，α2，...，αn}线性相关的充要条件是：{α1，α2，...，αn}中某个向量能被其余向量线性表示。
3)单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关
4)若{α1，α2，...，αn}线性无关，则其余部分向量组成的向量组也是线性无关
5)若向量组{α1，α2，...，αn}中部分向量组成的向量组{αi1，αi2，...，αim}线性相关，则原向量组 {α1，α2，...，αn}也线性无关。
二、基与维数
定义（基）：设{α1，α2，…，αn}是线性空间V中的一组线性无关向量组，若对V中任意向量β，存在一组数：x1，x2，…，xn，使得：β= x1α1+x2α2+…+xnαn
称x为向量β在基{α1，α2，…，αn}为V的基。
三、向量坐标
定理：设{α1，α2，…，αn}是线性空间Vn中的基，则对Vn中任意 向量β，有唯一的线性表出β= x1α1+x2α2+…+xnαn
记：x = [x1，x2，…，xn]T
称x为向量β在基{α1，α2，…，αn}下的坐标。
四、过渡矩阵
1.定义：设β = {α1，α2，…，αn}，α = {β1，β2，…,βn}是Vn的两个基，{β1，β2，…,βn} = {α1，α2，…，αn}P
写成矩阵形式：β = αP
称矩阵P为基α到基β的过渡矩阵（变换矩阵）。
2.过渡矩阵的性质：
1）过渡矩阵是满秩矩阵。
2）若P是基α到基β的过渡矩阵，则P-1是基β到基α的过渡矩阵。
3）若向量α在基β下的坐标为x，即β = αx，则向量α在基β下的坐标是：y = P-1x。
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