在之前的算法博客中，结合案例和算法的图形表示，获得了较多同学的好评，例如之前写的迪杰斯特拉算法这篇博客，能够让很多新同学和老同学通过直观的方式去理解算法求解的过程，这样理解起来会比较容易。最近关于求解线性规划的单纯形算法，在网络中目前没有发现比较好的图解该算法的博客，很多相关的博客可能会长篇大论，很多同学阅读的时候肯定很吃力，也很难坚持到最后，所以，想通过图形更直观的来讲一下单纯形算法。
线性规划问题是一个多变量线性函数的最优化问题，这些变量所满足的约束条件都是线性等式或者线性不等式。线性规划问题在我们的生活中非常常见，本文主要通过一个生活中的问题来讲解线性规划和单纯形算法。
有一个司机师父，他要给一家公司运输材料，运输的材料为水和特殊液体化学材料，其中，运输1立方水的利润为3块钱，运输1立方化学材料的利润为5块钱，但是，货车的最大容量为4立方，最大载重为6kg，其中，水的密度为1kg/立方，化学材质的密度为2kg/立方，那么，运输师父每次运输水和化学材料各多少立方时，总利润是最大的？
| 描述 | 符号表示 |
|---|---|
| 运输水的总体积 | x |
| 运输化学物质的总体积 | y |
根据运输的总利润，可以得到 总利润=3x+5y
根据货车体积限制，可以得到 x+y小于等于4
根据货车载重限制，可以得到 x+2y小于等于6
最基本的限制，货车运输两种物品的总体积为非负，即大于等于0
综上，我们可以建立下面的模型：
我们将线性规划问题区域通过图像绘制出来，同时将3x+5y=0的函数图像绘制出来，如下图：
| 具体表述 | |
|---|---|
| 条件1 | 目标函数必须是一个线性的最大化问题 |
| 条件2 | 所有的约束都必须是线性等式（除了非负约束） |
| 条件3 | 所有的变量都必须要求是非负的 |
关于上面的模型，可以看出，第一条和第三条满足，不满足第二条，因此我们需要它能够给引入松弛变量 u,v将不等式变成等式：
进而将模型转换成标准形式：
其中，标准形式的优势在于，可以通过简单的计算来确定可行区域的极点。
表1 单纯形名词解释
| 名词 | 详细解释 |
|---|---|
| 基本可行解 | 如果一个基本解的所有坐标值都非负，则成为是一个基本可行解 |
| 单纯形表 | 来描述单纯形算法求解过程中系数和可行解的表 |
| 目标行 | 单纯形表的最后一行为目标行，前几列初始化为目标函数系数的相反数，最后一列为当前的目标函数值 |
| 输入变量 | 选择目标行中最小负数所在列对应的变量，即单位变化对目标函数影响最大的变量 |
| 主元列 | 输入变量所在的列称为主元列 |
| 分离变量 | 在将输入变量作为基变量的时候，需要将当前的一个基变量变为非基变量，该非基变量称为分离变量 |
| θ比率 | 系数除以主元列中非零的值作为θ比率，θ比率越小的行对应的基变量作为本次的分离变量 |
| 主元行 | 分离变量对应的行作为主元行 |
| 主元化 | 将新的输入变量作为基变量的变换操作称为主元化，主要采用的变换方法跟线性方程组的高斯-若尔当消去法类似 |
借助上面的模型，结合图像和单纯形算法的计算过程，来看一下如果求解线性规划问题。
生成对应的单纯形表如下图，其中，绿色格代表方程组中各个变量的系数，灰色格表示方程组等号右侧的常数项，目标行中的黄色格初始化为目标函数对应变量系数的相反数，蓝色格代表目标函数当前的值：
计算结果如下：
θ(u) = 4/1 = 4
θ(v) = 6/2 = 3
θ(u) > θ(v)
因此，选择v为分离变量
4) 主元化
主元y代替分离变量v来作为新的基变量，这一步是单纯形算法中最复杂的一步，下面会详细介绍每一步的操作。
首先，将主元行的所有数除以主元行和主元列相交格中的数值，将主元列的系数变为1，计算过程如下图：
其次，对其他行的主元列进行消元，即将主元列的其他系数变成0
数据整理后得到下图，此时的目标值变为15：
在这个过程中，我们的目标函数具体是怎么变化了呢？我们通过图像直观的看一下目标函数的变化，如下图动画，首先，本次选择的主元列为y，此次目标函数所在位置为O点，从O点沿着y轴方向，建立了一个向量OH，沿着OH，进行移动，最终移动到极点H(0,3)上，此时的目标函数值为 3x+5y=30+53=15.
为什么是这样操作呢？因为经过上面的主元化操作，我们的基本解从（0,0,4,6） 变成了（0,3,1,0），关于xy的二维坐标系，就从（0,0）移动到（0,3）
因此，我们再次运行步骤2到步骤4，新的输入变量变成x，求得输入变量为u ,主元化操作如下：
将主元行对应的主元系数变成1，如下图
列项消元得到下图：
进行检查发现，目标行中的所有系数都变成非负数，此时达到了最优解，目标函数的最优值为16。此时求得的解为（2,2,0,0）,因此函数的解从（0,3,1,0）变为（2,2,0,0），我们通过图像来观察一下目标函数最优解的变化过程，如下面动画：
从上面的动画可以看出，单纯形算法一直从一个初始解，向最靠近目标函数最优解的极点靠近，每次迭代的解都是一个极点所对应的解。
经过上面的讲解，相信聪明的你应该对单纯形算法有了初步的理解，下面回顾一下整个算法的流程：
1 将模型变换成标准型
2 初始化：确定基变量，将非基变量设为0，求基本解，然后初始化单纯形表（基变量，变量系数，常数项列，目标行，目标函数值）中的五大变量
3 确定输入变量：通过目标行系数中的最小负数所在列对应的变量
4 确定分离变量：选取当前θ比率最小的基变量作为分离变量
5 检验最优：判断当前目标行的所有系数是否非负，如果有小于0，则继续回到步骤2-4，否则，达到最优，输出目标函数的最优值。
时间有点晚，后面代码部分会找时间补上。