实现思路：准备两份aside侧边栏，借助display和媒体查询实现响应式。

以下是完整代码：

<template>
  <el-container>
    <el-header>头部</el-header>
    <el-container>
      <!-- 准备两份aside侧边栏 -->
      <!-- 利用isCollapse动态控制侧边栏的宽度 -->
      <el-aside :width="isCollapse ? '64px' : '200px'" class="show">
        <!-- 切换侧边栏的显示与隐藏效果 -->
        <div class="toggle" @click="toggleCollapse">|||</div>
        <!-- collapse: 是否水平折叠收起菜单 -->
        <!-- collapse-transition：开启折叠动画 -->
        <el-menu :collapse="isCollapse" :collapse-transition="false" default-active="2" class="el-menu-vertical-demo" @open="handleOpen"
          @close="handleClose" background-color="#333744" text-color="#fff" active-text-color="#ffd04b">
          <el-submenu index="1">
            <template slot="title">
              <i class="el-icon-location"></i>
              <span>导航一</span>
            </template>
            <el-menu-item index="1-4">选项1</el-menu-item>
          </el-submenu>
        </el-menu>
      </el-aside>
      <!-- 第二份aside侧边栏 -->
      <!-- 侧边栏宽度取值与第一份相反 -->
      <el-aside :width="isCollapse ? '200px' : '64px'" class="hide">
        <!-- 绑定相同的事件 -->
        <div class="toggle" @click="toggleCollapse">|||</div>
        <!-- 这里collapse取值相反 -->
        <!-- collapse-transition：开启折叠动画 -->
        <el-menu :collapse="!isCollapse" :collapse-transition="false" default-active="2" class="el-menu-vertical-demo" @open="handleOpen"
          @close="handleClose" background-color="#333744" text-color="#fff" active-text-color="#ffd04b">
          <el-submenu index="1">
            <template slot="title">
              <i class="el-icon-location"></i>
              <span>导航一</span>
            </template>
            <el-menu-item index="1-4">选项1</el-menu-item>
          </el-submenu>
        </el-menu>
      </el-aside>
      <el-main>主体</el-main>
    </el-container>
  </el-container>
</template>

<script>
export default {
  name: 'App',
  data () {
    return {
      // 控制侧边栏的显示与隐藏
      isCollapse: false // 默认显示侧边栏
    }
  },
  methods: {
    // 控制侧边栏的显示与隐藏
    toggleCollapse () {
      this.isCollapse = !this.isCollapse
    }
  }
}
</script>

<style lang="less">
html,
body,
.el-container {
  margin: 0;
  height: 100%;
}

.el-container {
  .el-header {
    padding: 0;
    background-color: #373d41;
    color: #fff;
  }

  .el-aside {
    background-color: #333744;

    // 默认只显示一份aside侧边栏
    &.show {
      display: block;
    }

    &.hide {
      display: none;
    }

    // 媒体查询，实现响应式
    @media (max-width: 992px) {
      // 取值与上面相反即可
      &.show {
        display: none;
      }

      // 取值与上面相反即可
      &.hide {
        display: block;
      }
    }

    .toggle {
      letter-spacing: 0.2em;
      color: #fff;
      text-align: center;
      line-height: 24px;
      background-color: #4a5064;
      cursor: pointer;
    }

    .el-menu {
      border-right: none;
    }
  }

  .el-main {
    background-color: #eaedf1;
  }
}
</style>

效果如下：

注：媒体查询设置的边界值是992px，小于992px折叠，大于992px展开。

源码地址：elementUI侧边栏响应式布局: elementUI侧边栏响应式布局