通俗理解泰勒公式

2023-10-26

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在维基百科上的解释

在数学中，泰勒公式（英语：Taylor's Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。这个公式来自于微积分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式（Taylor polynomial）。

泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 $e^{x}$ 在 $x = 0$ 的附近可以用以下多项式来近似地表示：

${\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.$

对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：

$f(a+h)=f(a)+f^{{\prime }}(a)h+o(h)$ ，其中 $o(h)$ 是比h 高阶的无穷小。

也就是说 $f(a+h)\approx f(a)+f^{{\prime }}(a)h$ ，或 $f(x)\approx f(a)+f^{{\prime }}(a)(x-a)$ 。

百度百科上的解释

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

在知乎上看到的几个答案

麦克劳林展开：

$\large f(x) = f(0)+\tfrac{f{}'(0)}{1!}x+\tfrac{f{}''(0)}{2!}x^{2}+...+\tfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

容易看出，实际上就是从0这个点的函数值出发，然后把各阶导数全部加起来。

下面的阶乘不过是为了消掉X本身求导带出的东西而已。

需要注意的是，泰勒公式适用于局部的近似。即，如果知道某点的值，我们可以用泰勒求出该点附近的点的值，如果两个点离得很远，泰勒公式就会产生很大误差。

那么我们想想为什么要把导数全部加起来？导数的意义是什么？我们都知道，在物理的时间-位移函数中，求一阶导数就得到速度，说白了就是位移的变化率；求二阶导就得到了加速度，说白了就是速度（一阶导）的变化率。所以，容易看出，实际上每一阶导数都是上一阶导数的变化率。至此，泰勒公式的含义就很明确了。我们知道一个时点的值比如f(0)，然后我们想求f(x)，我们只要让函数从f(0)走到f(x)然后考虑过程中的所有变化就可以了。

举例：一个老司机开车（考虑一维的情况）向前行驶，这人开车很任性，一下加速一下减速，完全由着性子来。那么我知道他0时间在a这个位置，请问他2分钟后开到了什么位置呢？

首先直接速度乘以时间，不准确，因为这老司机开车的速度老在变化；那我们考虑速度的变化，即考虑一个加速度，好像比刚才好点，但是还是不准确，因为这老司机一下踩油门一下踩刹车，连加速度都是变化的；好，那我们再考虑加速度的变化……

由此一直考虑下去，如果我们能描述，这个开车的人在这两分钟里，每个时间的速度的变化，加速度的变化……我们就能得到两分钟后他的位置。

即：不论其车开得有多任性，只要我从初始点开始，把这个过程中的车的每一个变化，每一个变化的变化，每一个变化的变化的变化，每一个变化的变化的变化的变化……都考虑到了，就能近似得到最终目标点的情况。而且越往后考虑，得到的结果越精确。

这就是泰勒展开的含义啦。

参考：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F

https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F/7681487?fr=aladdin

https://www.zhihu.com/question/21149770

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