对于微积分，其有一个非常明显的不足：黎曼意义下可积函数的类太小。例如定义在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上的狄利克雷函数 D ( x ) D(x) D(x)(有理数点取值1，无理数点取值0)，看上去非常简单，但是他不可积。于是数学家们认为，这是关于黎曼积分的定义有问题的，应该采用一个新的积分是。这是勒贝格研究实变量函数的出发点。
我们进一步讨论黎曼积分的缺陷，所谓的黎曼积分就是说
让函数 f {\displaystyle f} f 为定义在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 的非负函数，我们想要计算 f ( x ) f(x) f(x)所代表的曲线与 x x x坐标轴跟两条垂直线 x = a x=a x=a跟 x = b x=b x=b 所夹图形的面积（既下图区域 S 的面积），可将区域 S 的面积以下面符号表示： ∫ a b f ( x ) d x . \int _{a}^{b}f(x)\,dx. ∫abf(x)dx.
黎曼积分的基本概念就是对 x x x-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 S S S 的面积。同时请注意，如函数为负函数， f : [ a , b ] ↦ R < 0 f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} _{<0} f:[a,b]↦R<0，则其面积亦为负值。
对于连续函数，我们通过越来越细的分割可以使得每个小区间的矩形面积接近积分值（连续函数小区间的上下确界差别不大）。回过头来看狄利克雷函数，无论把 x x x分的再细，每个小区间都有无理数和有理数，他们彼此的高度差到处都是1，即函数的下确界为0，上确界为1，不会趋向于相同的值，于是在黎曼意义下，他是不可积的。
勒贝格提出了一种新的思路：不分定义域，转而将值域进行分割，把函数值差不多的那部分点集放在一起考虑，用横放着的小矩形面积之和加以逼近。
仍然以
D
(
x
)
D(x)
D(x)为例，他只有两个函数值1，0，取0的是
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]区间内的无理数集
I
I
I，取1的是其中的有理数集
Q
Q
Q。假设无理数集的长度是
m
(
I
)
m(I)
m(I)，有理数集的长度是
m
(
Q
)
m(Q)
m(Q)，此时他的积分就可以表示为
1
⋅
m
(
Q
)
+
0
⋅
m
(
I
)
1\cdot m(Q)+ 0 \cdot m(I)
1⋅m(Q)+0⋅m(I)
这样的话问题就归结为如何确定
m
(
Q
)
,
m
(
I
)
m(Q),m(I)
m(Q),m(I)了，而在微积分中，集合是没有长度的，这就需要一套新的理论——测度论。按照测度论，我们有
m
(
I
)
=
1
,
m
(
Q
)
=
0
m(I)=1,m(Q)=0
m(I)=1,m(Q)=0，因此该函数的勒贝格积分为0。这就是数学之美！
这里有个很有意思的人物，集合论的创立者康托尔对无限集合也以大小，多少来分，他断言 “全体实数比全体有理数多”，这是实变函数论的出发点。
集 合 的 表 示 集合的表示 集合的表示
集合：“在一定范围内的个体事物的全体，当将他们看作一个整体时，我们把这个整体称之为一个集合，其中每个个体事务叫做该集合的元素”。一个集合的各个元素必须是彼此相异的；哪些事物是给定集合的元素必须是明确的。表示方法有以下几种
习惯上， N , Z , Q , R \mathbf{N,Z,Q,R} N,Z,Q,R分别表示自然数集，整数集，有理数集，实数集。设 f ( x ) f(x) f(x)是定义在 E E E上的函数，记 f ( E ) = { f ( x ) : x ∈ E } f(E)=\{f(x):x\in E\} f(E)={f(x):x∈E}称为该函数的值域。如果 D D D是 R R R中的集合， E E E是一个非空集合，则称 f − 1 ( D ) = { x : x ∈ E , f ( x ) ∈ D } f^{-1}(D)=\{x:x\in E,f(x)\in D\} f−1(D)={x:x∈E,f(x)∈D}称为 D D D的原像。
用 集 合 语 言 描 述 函 数 性 质 ， 是 实 变 函 数 中 的 常 用 方 法 {\color{blue}用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法} 用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，比如 f ( x ) f(x) f(x)在 R \mathbf{R} R上连续，且在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有上界，即对任意的 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]有 f ( x ) ≤ M f(x)\leq M f(x)≤M，那么用集合语言可以表示为 [ a , b ] ⊂ { x : f ( x ) ≤ M } [a,b]\subset \{x:f(x)\leq M\} [a,b]⊂{x:f(x)≤M}.
集
合
的
运
算
集合的运算
集合的运算
并集的概念可以推广到任意多个集合的情形，设有一族集合
{
A
α
:
α
∈
Λ
}
\{A_\alpha:\alpha\in\Lambda\}
{Aα:α∈Λ}，其中
α
\alpha
α是在固定指标集
Λ
\Lambda
Λ中唯一变化的指标，则由一切
A
α
A_\alpha
Aα的元素所组成的集合称为这族集合的并集或者合集，记作
∪
α
∈
Λ
A
α
\cup_{\alpha\in\Lambda} A_\alpha
∪α∈ΛAα，它可以表示为
∪
α
∈
Λ
A
α
=
{
x
:
存
在
某
个
α
∈
Λ
,
使
x
∈
A
α
}
\cup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha=\{x:存在某个\alpha\in\Lambda,使x\in A_\alpha\}
∪α∈ΛAα={x:存在某个α∈Λ,使x∈Aα}
习惯上当
Λ
=
{
1
,
2
,
.
.
.
,
k
}
\Lambda=\{1,2,...,k\}
Λ={1,2,...,k}为有限集时，并集可以写作
A
=
∪
α
∈
Λ
A
α
=
∪
n
=
1
K
A
n
A=\cup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha=\cup_{n=1}^K A_n
A=∪α∈ΛAα=∪n=1KAn，如果是无限集的话，写作
A
=
∪
n
∈
N
A
n
=
∪
n
=
1
∞
A
n
A=\cup_{n\in N}A_n=\cup_{n=1}^{\infty}A_n
A=∪n∈NAn=∪n=1∞An。
记并集运算为 A c A^c Ac，我们有德摩根定律
上
极
限
/
下
极
限
集
合
上极限/下极限集合
上极限/下极限集合
我们首先从数列来定义所谓的上下极限。上极限，就是向上走的最终趋势，假设我们有一个列集 a n a_n an，如何确定这个趋势呢
最终趋势为 lim n → ∞ sup k ≥ n { a k } \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\{ a_k\} limn→∞supk≥n{ak}，即上极限 lim ˉ n → ∞ a n \bar{\lim}_{n\rightarrow\infty}a_n limˉn→∞an。从数学上来讲， sup k ≥ n { a k } \sup_{k\geq n}\{ a_k\} supk≥n{ak}是一个不增的数列，因此总是有极限的。而因为一个不增的数列，他的极限就是他的下确界，因此这个上极限又可以定义为 inf n ≥ 1 sup k ≥ n { a k } \inf_{n\geq 1}\sup_{k\geq n}\{a_k\} infn≥1supk≥n{ak}。此时我们的定义只依赖于上下确界，因此要将这种定义推广到集合，我们需要知道集合的上下确界。
对于数列的上下确界，分别表示数列的上(下）界中最小(大）的那个。那么对于集列
{
A
n
}
\{A_n\}
{An}，我们是不是可以定义上确界为比所有
A
n
A_n
An都大的集合中最小的那个（集合的大小并不是元素的多少，直观来看如果
A
⊂
B
A\subset B
A⊂B，那么A比B小），对于一群集合
{
A
n
}
\{A_n\}
{An}，他们的上确界直观来看应该是他们的并集，同样的他们的下确界就是他们的交集。所以集合列的上下极限就是将数列中的
inf
\inf
inf写为
∩
\cap
∩，
sup
\sup
sup写为
∪
\cup
∪。
它原始的定义如下
那么我们不妨问一个问题，“集合”与“数列”之间存在什么关系，使得我们可以定义上下极限？
他们的共同点在于，都可以比大小，其中数列比较的值的大小，而集列比较的是集合大小。
简单来讲，这部分的内容就是学习“如何数数”，先给出一些定义
如
何
定
义
数
量
如何定义数量
如何定义数量
基数（势）：
伯恩斯坦定理： A = ≤ B = a n d B = ≤ A = → A = = B = \stackrel{=}{A}\leq\stackrel{=}{B}and\stackrel{=}{B}\leq\stackrel{=}{A}\rightarrow\stackrel{=}{A}=\stackrel{=}{B} A=≤B=andB=≤A=→A==B=
该定理使得我们能够判断两个集合基数的关系，而不需要费尽心思构造两个集合之间的双射。也就是说对等关系简化成了，从 A → B A\rightarrow B A→B的单射与 B → A B\rightarrow A B→A的单射。
比如
(
0
,
1
)
(0,1)
(0,1)与
(
0
,
1
]
(0,1]
(0,1]之间的关系，直接建立二者的双射关系是很复杂的，但是通过定理我们可以先找他们的真子集
以下讨论的可数，不可数集合都是无限集合。
可
数
/
可
列
集
合
可数/可列集合
可数/可列集合
凡是和全体正整数所成集合
Z
+
\mathbf{Z}^+
Z+对等的集合都称为可数集合或可列结合。
N
,
Z
\mathbf{N,Z}
N,Z，奇数集合，偶数集合都是可数集合。一个集合是可数集合的充要条件是集合可以排成一个无穷序列（与正整数一一对应）。
定理1：任何无限集都至少包含一个可数子集，即可数集合是最少的无限集（可数集在所有无限集中有最小的基数）。
定理2：可数集合的无限子集必为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集。
定理3：设A为可数集，B为有限或可数集，则 A ∪ B A\cup B A∪B为可数集。
定理4：设 A i ( i = 1 , 2 , 3 , . . . ) A_i(i=1,2,3,...) Ai(i=1,2,3,...)都是可数集，则 ∪ i = 1 ∞ A i \cup_{i=1}^\infty A_i ∪i=1∞Ai也是可数集。
定理5：有理数（正整数、负整数、正分数、负分数以及零）全体是一个可数集合。
有理数在实数中是处处稠密的，尽管如此，全体有理数也只不过是一个和稀疏分布的正整数全体一一对应的可数集。这个令人难以置信的事实，正是集合论向“无限”进军的一个重要成果，是人类理性思维的又一胜利。
定理6： A i A_i Ai是可数集，则 A = A 1 × A 2 × . . . × A n A=A_1\times A_2\times...\times A_n A=A1×A2×...×An是可数集
定理7：代数数的全体是一可数集（代数数是整系数多项式的根,1是x-1=0的根， − 1 是 x 2 + 1 = 0 的 根 \sqrt{-1}是x^2+1=0的根 −1 是x2+1=0的根）。
不
可
数
集
合
不可数集合
不可数集合
如果所有无限集全都是可数集，那么它们都具有相同的基数，那么这个概念的引入也没有任何意义了。而从以下定理我们可以知道不是可数集的无限集是存在的。我们定义不是可数集合的无限集合为不可数集合。那么我们不妨问两个问题 （i）基数可以不断增大吗？ （ii）有没用最大的不可数集合。
康托尔定理：设
M
M
M是任意一个集合它的所有子集组成的新集合
μ
\mu
μ，则有
μ
=
>
M
=
\stackrel{=}{\mu}>\stackrel{=}{M}
μ=>M=.
对于有限集合，这是显然的如果
M
M
M有
n
n
n个元素，那么
μ
\mu
μ有
2
n
2^n
2n个元素，无限集合这里不做讨论。
应用：罗素悖论（所有集合的全体不是集合）。如果康托尔定理成立，那么
μ
\mu
μ也是集合且
μ
\mu
μ中的元素都属于
M
M
M即
μ
⊂
M
→
μ
=
≤
M
=
\mu\subset M\rightarrow\stackrel{=}{\mu}\leq\stackrel{=}{M}
μ⊂M→μ=≤M=，与康托尔定理矛盾。
这个定理显示了，基数可以不断增大，而且我们不能找到最大的基数。
定理1：全体实数
R
\mathbf{R}
R是一个不可数集合，其与幂集(自然数的所有子集)
2
N
2^N
2N对等。
证明过程如下，我们可以构造出很多小数，让他的第一位与
a
1
(
1
)
a_1^{(1)}
a1(1)不同，第二位与
a
2
(
2
)
a_2^{(2)}
a2(2)不同,…,第
n
n
n位与
a
n
(
n
)
a^{(n)}_n
an(n)不同，它可以与序列中的元素都不相同，也就是说实数全体不能展开为一个序列。
设 X X X是一个集合，对于集合内的任意两个元素 x , y x,y x,y，都有唯一确定的实数 d ( x , y ) d(x,y) d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件
以下是一些常用定义
聚
点
内
点
界
点
聚点内点界点
聚点内点界点
设
E
E
E是
R
n
R^n
Rn中的一个点集，
P
0
P_0
P0是一个定点，那么
P
0
,
E
P_0,E
P0,E之间有以下关系
开 集 闭 集 开集闭集 开集闭集
