二叉搜索树

目录

定义简介

查找结点

插入结点

删除结点

排序

二叉搜索树的效率

二叉搜索树的退化

二叉搜索树常见应用

• 定义简介

• 「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：
• 1. 对于根结点，左子树中所有结点的值 < 根结点的值 < 右子树中所有结点的值；
• 2. 任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件 1. ；

  

• 查找结点

• 给定目标结点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找
• 声明一个结点 cur ，从二叉树的根结点 root出发，循环比较结点值 cur.val 和 num 之间的大小关系
  • 若 cur.val < num ，说明目标结点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right ；
  • 若 cur.val > num ，说明目标结点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left ；
  • 若 cur.val = num ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；
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• 二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况
• 循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 𝑂(log 𝑛) 时间

  

• 插入结点

• 给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：
• 1. 查找插入位置：与查找操作类似，从根结点出发，根据当前结点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到 null ）时跳出循环；
• 2. 在该位置插入结点：初始化结点 num ，将该结点放到 null 的位置；
• 二叉搜索树不允许存在重复结点，否则将会违背其定义
• 因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可
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• 为了插入结点，需要借助辅助结点 pre 保存上一轮循环的结点，这样在遍历到 null 时，也可以获取到其父结点，从而完成结点插入操作
• 与查找结点相同，插入结点使用 𝑂(log 𝑛) 时间

• 删除结点

• 与插入结点一样，需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质
• 首先，需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点
• 接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况：
• 当待删除结点的子结点数量 = 0 时，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可

  

• 当待删除结点的子结点数量 = 1 时，将待删除结点替换为其子结点即可

  

• 当待删除结点的子结点数量 = 2 时，删除操作分为三步：
  • 1. 找到待删除结点在 中序遍历序列 中的下一个结点，记为 nex ；
  • 2. 在树中递归删除结点 nex ；
  • 3. 使用 nex 替换待删除结点；
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• 删除结点操作也使用 𝑂(log 𝑛) 时间，其中查找待删除结点 𝑂(log 𝑛) ，获取中序遍历后继结点 𝑂(log 𝑛)
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• 排序

• 「中序遍历」遵循“左 → 根 → 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子结点 < 根结点 < 右子结点”的大小关系
• 因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小结点
• 从而得出一条重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的
• 借助中序遍历升序的性质，在二叉搜索树中获取有序数据仅需 𝑂(𝑛) 时间，而无需额外排序，非常高效

  

• 二叉搜索树的效率

• 假设给定 𝑛 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：
  • 查找元素：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 𝑂(𝑛) 时间；
  • 插入元素：只需将元素添加至数组尾部即可，使用 𝑂(1) 时间；
  • 删除元素：先查找元素，使用 𝑂(𝑛) 时间，再在数组中删除该元素，使用 𝑂(𝑛) 时间；
  • 获取最小 / 最大元素：需要遍历数组来确定，使用 𝑂(𝑛) 时间；
• 为了得到先验信息，也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为：
  • 查找元素：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 𝑂(log 𝑛) 时间；
  • 插入元素：先查找插入位置，使用 𝑂(log 𝑛) 时间，再插入到指定位置，使用 𝑂(𝑛) 时间；
  • 删除元素：先查找元素，使用 𝑂(log 𝑛) 时间，再在数组中删除该元素，使用 𝑂(𝑛) 时间；
  • 获取最小 / 最大元素：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 𝑂(1) 时间；
• 观察发现，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度是“偏科”的，即有的快有的慢；
• 而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 𝑛 很大时有巨大优势

  

• 二叉搜索树的退化

• 理想情况下，希望二叉搜索树的是“左右平衡”的，此时可以在 log 𝑛 轮循环内查找任意结点
• 如果动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，则可能导致二叉树退化为链表，此时各种操作的时间复杂度也退化之 𝑂(𝑛)
• 在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题

  

• 二叉搜索树常见应用

• 系统中的多级索引，高效查找、插入、删除操作
• 各种搜索算法的底层数据结构
• 存储数据流，保持其已排序