由于点双和边双都是无向图里面的东西，所以下面的讲解都以图是无向图作为前提。
割点： 对于一个连通图中的点 x x x，假如删去这个点以及与所有 x x x 相连的边之后图不连通，那么称 x x x 为该图的割点。
点双联通的： 对于一个无向图，假如仅仅对于该图而言其中不包含割点，那么称这个图是点双连通的。（和网上的不一样？别急，往下看）
点双连通分量： 对于一个无向图中的极大点双连通的子图，我们称这个子图为点双连通分量。
为了方便，下面简称点双连通分量为点双。
1、 除了一种比较特殊的点双，其他的点双都满足：任意两点间都存在至少两条点不重复路径。
比较特殊的点双：
网上大部分以该性质作为点双的定义，然后说这种图虽然不满足定义，但是是一个特殊的点双。而上面那个更严谨的定义则可以将这种情况包含在内，更加完备。
2、 图中任意一个割点都在至少两个点双中。
因为删去割点后图会不连通，所以割点至少连接着图的两部分，而由于点双中不能有割点，所以这两部分肯定不在同一个点双中，所以割点至少存在于两个点双中。
再次提醒，点双联通的的定义是 仅仅对于该图而言 其中不包含割点，那么称这个图是点双连通的，也就是说，可以包含原图中的割点。
3、 任意一个不是割点的点都只存在于一个点双中。
这个很显然，不多解释。
设 d f n [ x ] dfn[x] dfn[x] 表示遍历到 x x x 之前遍历过多少个点， l o w [ x ] low[x] low[x] 表示从 x x x 出发在不经过父子边的情况下能到达的最早的祖先的 d f n dfn dfn 值。
回看割点的定义：把这个点删除后图会不连通，那么肯定存在一些点，在不经过该割点的情况下无法到达割点的祖先，用这个性质来找就好了。
代码：
int dfn[maxn],low[maxn],id;
bool cut[maxn];
void dfs1(int x,int from)//from表示x与父亲之间的边的编号
{
dfn[x]=low[x]=++id; int son=0;
for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
{
int y=e[i].y;
if(y==(from^1))continue;//不能通过反向边走回去
if(!dfn[y])
{
dfs1(y,x); son++;
if(low[y]<low[x])low[x]=low[y];//更新low，假如y能走到更小的，那么x也能走到
if(low[y]>=dfn[x])cut[x]=true;
//假如儿子在不经过父子边的情况下不能到达x的祖先，那么x就是个点
}
else if(dfn[y]<low[x])low[x]=dfn[y];//假如走到了一个dfn更小的，那么更新low
}
if(fa==-1&&son==1)cut[x]=false;//特判出发点在一个环中的情况
}
void tarjan()
{
for(int i=1;i<=n;i++)//如果图不连通，那么每一个连通块都要跑一遍
if(dfn[i]==0)dfs1(i,-1);
}
再说说那个特判，是用来处理这种情况的：
假如从红色节点出发，那么最后红色节点会被判定成割点，因为没有儿子能走到它的祖先，但是他压根就没有祖先啊，所以这时候，我们判一下，假如没有祖先，那么不能算割点，于是有了
fa==-1
这个判定条件。
但是
son==1
这个条件用来干啥？
我们注意到，出发点也有是割点的情况，比如：
如果从红色节点出发，而此时红色节点又刚好是割点，那怎么办呢？
这时候就要用到
son==1
这个限制了，因为如果起点是割点，那么 s o n son son 肯定大于 1 1 1。
发现只有遍历到一个 d f n [ y ] = 0 dfn[y]=0 dfn[y]=0 的 y y y 时， s o n son son 才会 + 1 +1 +1，所以 s o n son son 的实际意义就是该点所连接的点双数量。
而根据上面的性质，假如 s o n = = 1 son==1 son==1，那么这个点肯定不是割点，否则一定是割点，所以在 f a = − 1 fa=-1 fa=−1 的同时我们还需要进行 s o n = 1 son=1 son=1 这样的判断。
那可能有人会问了，为什么其他的割点不用 s o n = 1 son=1 son=1 这样的方法来判呢？仔细想想，其他的点和出发点的区别就是：他们都有父亲。而遍历的时候是不能往回走的，也就是说，我们不知道父亲的状态，所以不能用 s o n son son 来判。
这个时候就要请出伟大的 Tarjan 了！
我们依然考虑使用上面的 d f n dfn dfn 和 l o w low low 来求，我们将深搜时遇到的所有边加入到栈里面，当找到一个割点的时候，就将这个割点往下走到的所有边弹出，而这些边所连接的点就是一个点双了。
代码：
int dfn[maxn],low[maxn],id,t;
edge zhan[(maxn*maxn)<<1];//存边的栈
int belong[maxn],cnt;//belong记录每个点属于哪一个点双，cnt记录点双个数
bool cut[maxn];
set<int> s[maxn];//记录每个点双包含哪些点，如果题目不需要也可以不求
void dfs(int x,int from)
{
dfn[x]=low[x]=++id; int son=0;
for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
{
if(i==(from^1))continue;
int y=e[i].y;
if(!dfn[y])
{
zhan[++t]=e[i]; dfs(y,i); son++;//先压栈再遍历
if(low[y]<low[x])low[x]=low[y];
if(low[y]>=dfn[x])//发现x是割点
{
cnt++; edge xx; cut[x]=true;
do{
xx=zhan[t--];//弹出
belong[xx.x]=belong[xx.y]=cnt;//标记
s[cnt].insert(xx.x);s[cnt].insert(xx.y);//记录
}while(xx.x!=x||xx.y!=y);//假如已经弹到 x到y 这条边了，就停下来
}
}
else if(dfn[y]<low[x])low[x]=dfn[y];
}
if(from==-1&&son==1)cut[x]=false;
}
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割边： 假如删去这条边后图不连通，那么称这条边为割边。
边双联通的： 对于一个图，假如仅仅对于该图而言其中没有割边，那么我们称这个图是边双联通的。
1、 割边不属于任意边双，而其它非割边的边都属于且仅属于一个边双。
2、 对于一个边双中的任意两个点，它们之间都有至少两条边不重复的路径。
和找割点类似，直接上代码：
int dfn[maxn],low[maxn],id;
bool cut[maxn];
void dfs(int x,int from)
{
dfn[x]=low[x]=++id;
for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
{
if(i==(from^1))continue;
int y=e[i].y;
if(!dfn[y])
{
dfs(y,i);
if(low[y]<low[x])low[x]=low[y];
if(low[y]>dfn[x])cut[i]=cut[i^1]=true;
//注意这里是大于而不是大于等于，原因想想就明白了
}
else if(dfn[y]<low[x])low[x]=dfn[y];
}
}
在请出Tarjan之前，我们先介绍另外一种做法：第一次 d f s dfs dfs 找出割边，然后第二次 d f s dfs dfs 在不经过割边的情况下遍历所有点，每一次遍历经过的一个子图就是一个边双。
用类似找点双的做法，但是栈里面压点，不压边。
代码：
int dfn[maxn],low[maxn],belong[maxn],id=0,cnt=0;
int zhan[maxn],t=0;
void dfs(int x,int from)
{
dfn[x]=low[x]=++id;zhan[++t]=x;
for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
{
if(i==(from^1))continue;
int y=e[i].y;
if(!dfn[y])
{
dfs(y,i);
if(low[y]<low[x])low[x]=low[y];
}
else if(dfn[y]<low[x])low[x]=dfn[y];
}
if(dfn[x]==low[x])
{
cnt++; int xx;
do{
xx=zhan[t--];
belong[xx]=cnt;
}while(xx!=x);
}
}
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对于什么时候用点双，什么时候用边双这个问题，个人感觉是，点双的性质其实比边双要好，因为边双里面允许有割点的存在，边双只强调点集内所有点能相互到达，但点双就有一些更好的性质，比如像吃掉一个点之后剩下的点之间还能相互到达。
当然这些都是乱吹的，建议不看跳过即可。