分部积分在考研中的重要性不用多说了,是很多题目解题的关键。 我从李林880/张宇1000题/汤家凤1800中,对分部积分常考的六类题型进行了总结,见下。
分部积分的作用(基础好的可跳过):
分部积分的初始表达式如下:
∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x \int_{}^{}uv'dx=uv-\int_{}^{}u'vdx ∫uv′dx=uv−∫u′vdx .
从这个式子可以看出:要求 ∫ u v ′ d x \int_{}^{}uv'dx ∫uv′dx 积分值可以转变为主要求 ∫ u ′ v d x \int_{}^{}u'vdx ∫u′vdx 的积分值。
等式里面虽然还有 u v uv uv ,但是通常这个是比较好求的,所以主要求的是 ∫ u ′ v d x \int_{}^{}u'vdx ∫u′vdx 。
所以宏观上来说,分部积分的作用是使被积函数一部分积分,另一部分求导。
又因为分部积分可以多次使用:
∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x \int_{}^{}uv'dx=uv-\int_{}^{}u'vdx ∫uv′dx=uv−∫u′vdx ,一次分部积分
∫ u v ′ ′ d x = u v ′ − u ′ v + ∫ u ′ ′ v d x \int_{}^{}uv''dx=uv'-u'v+\int_{}^{}u''vdx ∫