【转】介绍线性代数

2023-10-27

[color=red]这里转一个别人写的对线性代数的理解,觉得他已经写出了线性代数的魂。可惜的是我也是从网上别人的转载中摘录的,未知作者的大名啊。[/color]

今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的,基本上不抄书,可能有错误的地方,希望能够被指出。但我希望做到直觉,也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。

首先说说空间(space),这个概念是现代数学的命根子之一,从拓扑空间开始,一步步往上加定义,可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的,如果在里面定义了范数,就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性,就成了巴那赫空间;赋范线性空间中定义角度,就有了内积空间,内积空间再满足完备性,就得到希尔伯特空间。

总之,空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义,大致都是“存在一个集合,在这个集合上定义某某概念,然后满足某些性质”,就可以被称为空间。这未免有点奇怪,为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢?大家将会看到,其实这是很有道理的。

我们一般人最熟悉的空间,毫无疑问就是我们生活在其中的(按照牛顿的绝对时空观)的三维空间,从数学上说,这是一个三维的欧几里德空间,我们先不管那么多,先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道,这个三维的空间:1. 由很多(实际上是无穷多个)位置点组成;2. 这些点之间存在相对的关系;3. 可以在空间中定义长度、角度;4. 这个空间可以容纳运动,这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动(变换),而不是微积分意义上的“连续”性的运动,

上面的这些性质中,最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础,不算是空间特有的性质,凡是讨论数学问题,都得有一个集合,大多数还得在这个集合上定义一些结构(关系),并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊,其他的空间不需要具备,更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质,也就是说,容纳运动是空间的本质特征。

认识到了这些,我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上,不管是什么空间,都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动(变换)。你会发现,在某种空间中往往会存在一种相对应的变换,比如拓扑空间中有拓扑变换,线性空间中有线性变换,仿射空间中有仿射变换,其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

因此只要知道,“空间”是容纳运动的一个对象集合,而变换则规定了对应空间的运动。

下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有,但是既然我们承认线性空间是个空间,那么有两个最基本的问题必须首先得到解决,那就是:

1. 空间是一个对象集合,线性空间也是空间,所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合?或者说,线性空间中的对象有什么共同点吗?

2. 线性空间中的运动如何表述的?也就是,线性变换是如何表示的?

我们先来回答第一个问题,回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的,可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象,通过选取基和坐标的办法,都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了,举两个不那么平凡的例子:

L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间,也就是说,这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基,那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量,其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是,基的选取有多种办法,只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了,所以这里先不说,提一下而已。

L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体,构成一个线性空间。也就是说,这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数,根据魏尔斯特拉斯定理,一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数,使之与该连续函数的差为0,也就是说,完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。

所以说,向量是很厉害的,只要你找到合适的基,用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章,因为向量表面上只是一列数,但是其实由于它的有序性,所以除了这些数本身携带的信息之外,还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单,却又威力无穷呢?根本原因就在于此。这是另一个问题了,这里就不说了。

下面来回答第二个问题,这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。

线性空间中的运动,被称为线性变换。也就是说,你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点,都可以通过一个线性变化来完成。那么,线性变换如何表示呢?很有意思,在线性空间中,当你选定一组基之后,不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象,而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动(变换)。而使某个对象发生对应运动的方法,就是用代表那个运动的矩阵,乘以代表那个对象的向量。

简而言之,在线性空间中选定基之后,向量刻画对象,矩阵刻画对象的运动,用矩阵与向量的乘法施加运动。

是的,矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么,那么你就可以响亮地告诉他,矩阵的本质是运动的描述。


可是多么有意思啊,向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗?这实在是很奇妙,一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗?如果是巧合的话,那可真是幸运的巧合!可以说,线性代数中大多数奇妙的性质,均与这个巧合有直接的关系。
接着理解矩阵。

上一篇里说“矩阵是运动的描述”,到现在为止,好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念,在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候,总会有人照本宣科地告诉你,初等数学是研究常量的数学,是研究静态的数学,高等数学是变量的数学,是研究运动的数学。大家口口相传,差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人,好像也不多。简而言之,在我们人类的经验里,运动是一个连续过程,从A点到B点,就算走得最快的光,也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径,这就带来了连续性的概念。而连续这个事情,如果不定义极限的概念,根本就解释不了。古希腊人的数学非常强,但就是缺乏极限观念,所以解释不了运动,被芝诺的那些著名悖论(飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论)搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的,所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分,才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。

不过在我这个《理解矩阵》的文章里,“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动,而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点,经过一个“运动”,一下子就“跃迁”到了B点,其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”,或者说“跃迁”,是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人,就会立刻指出,量子(例如电子)在不同的能量级轨道上跳跃,就是瞬间发生的,具有这样一种跃迁行为。所以说,自然界中并不是没有这种运动现象,只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说,“运动”这个词用在这里,还是容易产生歧义的,说得更确切些,应该是“跃迁”。因此这句话可以改成:

“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。

可是这样说又太物理,也就是说太具体,而不够数学,也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换,来描述这个事情。这样一说,大家就应该明白了,所谓变换,其实就是空间里从一个点(元素/对象)到另一个点(元素/对象)的跃迁。比如说,拓扑变换,就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说,仿射变换,就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下,这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道,尽管描述一个三维对象只需要三维向量,但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因,很多书上都写着“为了使用中方便”,这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因,是因为在计算机图形学里应用的图形变换,实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看,在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量,而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西,所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了,有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。

一旦我们理解了“变换”这个概念,矩阵的定义就变成:

“矩阵是线性空间里的变换的描述。”

到这里为止,我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的,在一个线性空间V里的一个线性变换T,当选定一组基之后,就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换,什么是基,什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的,设有一种变换T,使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y,以及任意实数a和b,有:
T(ax + by) = aT(x) + bT(y),
那么就称T为线性变换。

定义都是这么写的,但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换?我们刚才说了,变换是从空间的一个点跃迁到另一个点,而线性变换,就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思,就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点,而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变,只要变换前后都是线性空间中的对象,这个变换就一定是线性变换,也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换,一定是一个线性变换。有的人可能要问,这里为什么要强调非奇异矩阵?所谓非奇异,只对方阵有意义,那么非方阵的情况怎么样?这个说起来就会比较冗长了,最后要把线性变换作为一种映射,并且讨论其映射性质,以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点,如果确实有时间的话,以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换,就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说,下面所说的矩阵,不作说明的话,就是方阵,而且是非奇异方阵。学习一门学问,最重要的是把握主干内容,迅速建立对于这门学问的整体概念,不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况,自乱阵脚。

接着往下说,什么是基呢?这个问题在后面还要大讲一番,这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系,不是坐标值,这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来,“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。

好,最后我们把矩阵的定义完善如下:

“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中,只要我们选定一组基,那么对于任何一个线性变换,都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

理解这句话的关键,在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象,一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中,一个对象可以有多个引用,每个引用可以叫不同的名字,但都是指的同一个对象。如果还不形象,那就干脆来个很俗的类比。

比如有一头猪,你打算给它拍照片,只要你给照相机选定了一个镜头位置,那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述,但只是一个片面的的描述,因为换一个镜头位置给这头猪拍照,能得到一张不同的照片,也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述,但是又都不是这头猪本身。

同样的,对于一个线性变换,只要你选定一组基,那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基,就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述,但又都不是线性变换本身。

但是这样的话,问题就来了如果你给我两张猪的照片,我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢?同样的,你给我两个矩阵,我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢?如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述,那就是本家兄弟了,见面不认识,岂不成了笑话。

好在,我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质,那就是:

若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述(之所以会不同,是因为选定了不同的基,也就是选定了不同的坐标系),则一定能找到一个非奇异矩阵P,使得A、B之间满足这样的关系:

A = P-1BP

线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来,这就是相似矩阵的定义。没错,所谓相似矩阵,就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义,同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点,不过能让人明白。

而在上面式子里那个矩阵P,其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论,可以用一种非常直觉的方法来证明(而不是一般教科书上那种形式上的证明),如果有时间的话,我以后在blog里补充这个证明。

这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊!难怪这么重要!工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程,其中讲了各种各样的相似变换,比如什么相似标准型,对角化之类的内容,都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的,为什么这么要求?因为只有这样要求,才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然,同一个线性变换的不同矩阵描述,从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解,同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵,而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。

这样一来,矩阵作为线性变换描述的一面,基本上说清楚了。但是,事情没有那么简单,或者说,线性代数还有比这更奇妙的性质,那就是,矩阵不仅可以作为线性变换的描述,而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵,不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去,而且也能够把线性空间中的一个坐标系(基)表换到另一个坐标系(基)去。而且,变换点与变换坐标系,具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙,就蕴含在其中。理解了这些内容,线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
本文内容由网友自发贡献,版权归原作者所有,本站不承担相应法律责任。如您发现有涉嫌抄袭侵权的内容,请联系:hwhale#tublm.com(使用前将#替换为@)

【转】介绍线性代数 的相关文章

  • 使用匕首柄作为依赖注入来处理多个改造客户端?

    我想在我的 android 应用程序中使用两个不同的后端 具有不同的响应格式 我使用 hilt 作为依赖注入 并对网络调用进行改造 这非常适合工作 因为我已经添加了第二个服务器网络文件和应用程序模块 所以它给了我错误 该错误列在最后 我需要
  • 您的应用中的 Google Analytics SDK

    我按照这里的说明进行操作 https developers google com analytics devguides collection android v3 https developers google com analytics
  • 如何用Android做交互动画(翻译)

    我在 Android 中有一些 png 序列 我需要将它们的 x 和 y 位置从屏幕顶部到底部的翻译动画化 当动画发生时 我需要对象来接收单击事件 我知道这在 3 0 之前的 Android 版本中效果不太好 因为display对象的位置与
  • 即使我单击“运行”,Eclipse 也会运行调试模式

    Eclipse 总是在调试模式下启动我的应用程序 即使我单击常规的 运行 按钮 有任何想法吗 我发现我必须重新启动 Xoom 才能使其再次正常工作
  • 使用 ColorMatrix 调整亮度

    我正在尝试使用 ColorMatrix 调整图像的亮度 当尝试调整色相时 您可以在 Photoshop 中看到此选项 亮度和亮度也是两个不同的功能 但我不知道要更改哪些值才能实现此目的 目前我可以使用此代码更改色调 public stati
  • 如何通过代码检测Android上的表情符号支持

    通过代码 我可以制作一个按钮 将这 3 个表情符号插入到文本中 不过 在许多手机上 当用户单击按钮时 问题是 显示为 X X X 或者更糟糕的是 它只显示三个空白空间 我想在无法正确显示表情符号的 Android 设备上禁用并隐藏我自己的内
  • Kotlin Android Firebase 数据库哈希映射转换为类

    我正在尝试从 firebase 数据库获取数据 断点显示它正在获取数据 但看起来我没有正确地将其分配给我的班级 这会导致此异常 java lang ClassCastException 无法将 java util HashMap 转换为 班
  • 服务如何在后台运行 - Android

    今天的采访中我被问到了这个问题 什么是服务 我对此的回答是 Service 是 Android 的基本组件 它没有 UI 并且在后台运行 Service 是否在主线程上运行 不 那么它是如何在后台运行的呢 我心里一片空白 有人可以解释一下如
  • Android Widget ID 是否持久

    在从桌面删除该 Widget 实例之前 您从操作系统收到的用户桌面上特定 Widget 实例的 Widget ID 是否一致 我找不到任何明确说明这一点的文档 但我假设这是因为文档说您可以使用小部件 id 来存储任何实例配置信息 我想将一些
  • 配置项目 ':react-native-gesture-handler' 时出现问题

    大家好 我已经尝试了很长时间来解决这个问题 但不幸的是我还没有弄清楚如何解决 希望你们能帮助我 所以我有一个反应本机项目和我的朋友 以及我的一位朋友添加 React native gesture handler 包供我们使用 他对这个包没有
  • 如何使用具有三种布局的视图翻转器?

    我目前正在使用ViewFlipper我的主要活动有两种不同的布局 我想使用第三种布局 但我只能找到showNext and showPrevious 命令 有人可以告诉我如何使用来实现第三种布局吗ViewFlipper 为您制作了一个示例
  • Android 中图像字节表示的每像素字节数

    我目前正在编写一个Android应用程序 需要在其中使用OCR 为了实现这一点 我将 Tesseract 与tesseract android tools 项目 http code google com p tesseract androi
  • 旋转 Google 地图中的两层标记图标

    在我的应用程序中 我向地图添加了一定数量的标记 如下所示 private fun addMarker googleMap GoogleMap location Location val options MarkerOptions optio
  • 片段活动中的 commitAllowingStateLoss()

    我的应用程序使用片段活动 它仅处于纵向模式 无法旋转屏幕 最初我使用的是commit 方法 但现在我计划不加区别地将这些更改为commitAllowingStateLoss 对于碎片活动 是否有任何理由不不加区别地执行此操作而不重新评估我使
  • foo.setVisibility(View.GONE) 和parent.removeView(foo) 之间的区别

    如果 foo 是一个视图 那么有什么区别foo setVisibility View GONE and fooParent removeView foo 我对两个语句之前和之后视图的内存消耗特别感兴趣 可见性设置为 GONE 的视图是否会消
  • 如何在Room的数据库迁移中正确添加索引?

    我在迁移 Room 数据库时遇到问题 在更新的数据库中 我必须将一个字段从整数更改为双精度值 我读到它并不像听起来那么容易 为了做到这一点 我必须使用这个更改后的属性创建新的临时表 复制前一个表中的所有值 删除旧的值 最后重命名临时表 我的
  • Android 5 Lollipop 阴影方向或 y 偏移

    是否有可能改变 Y 偏移的阴影方向 现在我有以下布局
  • 在 VideoView 开始播放之前,TextView 不会显示

    我编写了一个android应用程序 它有两个视图 TextView上方的VideoView 位于ScrollView内部 我遇到了一个问题 直到VideoView开始播放视频 TextView才显示 并且我有一个黑屏 这可能需要很长一段时间
  • Retrofit 2.0:预期为 BEGIN_OBJECT,但在第 1 行第 1 列路径 $ [重复] 处为 STRING

    这个问题在这里已经有答案了 我在邮递员上传递了更新用户请求并获得了成功的响应 参见图片 现在当我尝试使用 Retrofit 2 在我的应用程序中执行相同操作时 出现错误 com google gson JsonSyntaxException
  • 使用 PDFBox 在 Android 中创建 PDF

    我正在尝试通过我的 Android 应用程序创建 PDFPDFBoxapi 但出现以下错误 java lang NoClassDefFoundError org apache pdfbox pdmodel PDDocument 我已经将以下

随机推荐

  • 深入浅出DDR系列(一)—— DDR原理

    版权声明 本文为CSDN博主 奇小葩 的原创文章 遵循CC 4 0 BY SA版权协议 转载请附上原文出处链接及本声明 原文链接 https blog csdn net u012489236 article details 10773073
  • 【从零开始的Java开发】2-8-2 CSS入门:CSS选择器、样式

    文章目录 CSS简介 CSS基础 CSS选择器 背景设置 使用外部样式表 样式 文本类样式 字体类样式 列表样式 伪类样式 CSS其他选择器 CSS选择器的优先级 CSS简介 CSS 即Cascading Style Sheets 层叠 样
  • WebRTC视频码率控制(二)—— QP检测

    WebRTC在视频编码过程中会进行QP检测 目的是让视频质量维持在可接受范围的前提下 调节整体视频表现 如分辨率 帧率 这里要注意的是 QP检测机制只是利用QP分析结果对分辨率 帧率进行调节 并不对编码QP做直接调整 说句题外话 通常编码器
  • Hausdorff distance

    微分动力系统原理 这本书里有介绍 Hausdorff距离是描述两组点集之间相似程度的一种量度 它是两个点集之间距离的一种定义形式 假设有两组集合A a1 ap B b1 bq 则这两个点集合之间的Hausdorff距离定义为 H A B m
  • Netcat 了解

    工作项目中遇到有用Netcat来实现Windows gt Macos通信 传输文件与数据的 所以想了解一下 Netcat 简称nc 是一款简单的Unix工具 使用UDP和TCP协议 它是一个可靠的容易被其他程序所启用的后台操作工具 同时它也
  • 计算机虚拟技术有什么用途,CPU虚拟化有什么作用?CPU怎么开启虚拟化技术?

    目前Intel和AMD的主流CPU都支持虚拟化技术 而搭配的主板BIOS中都自带了开启虚拟化技术的功能 但是主板出厂时默认禁用虚拟化技术的 如果我们如果需要使用CPU虚拟化技术 那么需要在主板中开启 那么CPU怎么开启虚拟化技术 下面装机之
  • 7-20 打印九九口诀表 (格式输出)

    下面是一个完整的下三角九九口诀表 1 1 1 1 2 2 2 2 4 1 3 3 2 3 6 3 3 9 1 4 4 2 4 8 3 4 12 4 4 16 1 5 5 2 5 10 3 5 15 4 5 20 5 5 25 1 6 6 2
  • linux对磁盘的管理员权限设置,Linux系统磁盘及文件系统管理

    本节索引 一 磁盘基本概念 二 磁盘分区管理 三 文件系统管理 四 设备挂载管理 一 磁盘基本概念 设备文件 Linux中一切皆文件 open read write close 设备类型 块设备 block 存储单位 块 磁盘 字符设备 c
  • 智能学习

    智能学习 MATLAB实现基于HS和谐搜索的时间序列未来多步预测 目录 智能学习 MATLAB实现基于HS和谐搜索的时间序列未来多步预测 效果一览 基本介绍 模型描述 程序设计 参考资料 效果一览 基本介绍 使用 Harmony Searc
  • docker部署redis集群配置文件笔记

    密码 requirepass 123456 指明为主机一的从机 slaveof 192 168 0 1 6389 主从redis同步的认证密码 与连接密码同 若不需要可不用配置 masterauth 123456 最大内存 maxmemor
  • 30条值得你借鉴的好习惯

    我有幸一直能生活在比较好的圈子中 我的优秀的同学 舍友 乃至我现在创业后遇到的优秀创业者 从他们身上看到和学到一些好的习惯 我一直觉得 好的习惯 是成功和进步的重要一点 我随手总结一些给大家 零散未经排版 当然 每个人有每个人的判断 这里可
  • 学术诚信的重要性_坚守学术道德,弘扬学术诚信

    霍楷 徐晨 摘 要 学车无辕而不立 人无信则不立 诚信乃为人之根本 学术诚信是个人行为秉性和学术道德品质的展现 反映了个体真实水准与学术涵养 培养学术道德意识 弘扬学术诚信精神 坚守学术诚信理念 净化学术环境是艺术类高校义不容辞的责任 提升
  • 基础12:高阶函数

    高阶函数 高阶函数英文叫 Higher order function 它的定义很简单 就是至少满足下列一个条件的函数 接受一个或多个函数作为输入 输出一个函数 也就是说高阶函数是对其他函数进行操作的函数 可以将它们作为参数传递 或者是返回它
  • springboot项目启动成功后执行一段代码的两种方式

    转自 https www cnblogs com zuidongfeng p 9926471 html 1 实现ApplicationRunner接口 package com lnjecit lifecycle import org spr
  • netcat小工具使用

    接收端 nc l 1789 gt test1 txt 发送端 nc 1 1 1 1 1789 lt test1 txt 使用nc传文件要比scp快不少 当然 安全性低了 root 12 nc h usage nc 46DdhklnrStUu
  • 小米笔记本pro开机出现no bootable devices

    用了4个月的小米笔记本开机突然出现no bootable devices 无法正常启动 很烦 如下图 上网查了资料 说是无法正确识别硬盘 然后 小米论坛的朋友 也有反馈 说很他们的小米笔记本也都出现了类似的情况 至今没有找到解决的方法 这可
  • 51单片机AD模数转换(SPI通信)

    一 AD DA介绍 AD AnalogtoDigital 模拟 数字转换 将模拟信号转换为计算机可操作的数字信号 DA Digital to Analog 数字 模拟转换 将计算机输出的数字信号转换为模拟信号 AD DA转换打开了计算机与模
  • python pandas定位表格中的某一单元并修改——at

    python pandas定位表格中的某一单元并修改 at 首先 我们创造一个用来进行测试的dataframe import pandas data aaa abc1 abc2 bbb bc1 bc2 ccc c1 c2 df pandas
  • Nacos安装详细过程

    本文来说下Nacos 注册中心 配置中心 安装详细过程 文章目录 初识Nacos Nacos开发必知 安装Nacos 本文小结 初识Nacos Nacos 致力于帮助您发现 配置和管理微服务 Nacos 提供了一组简单易用的特性集 帮助您快
  • 【转】介绍线性代数

    color red 这里转一个别人写的对线性代数的理解 觉得他已经写出了线性代数的魂 可惜的是我也是从网上别人的转载中摘录的 未知作者的大名啊 color 今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解 这些东西大部分是凭着自己的理解写出来