小朋友排队（树状数组求解逆序对 + 归并排序求解逆序对）

2023-10-28

小朋友排队问题

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小朋友排队问题

前言

对于树状数组，我们首先要明确树状数组要代表什么，进而利用算法求解出前缀和，这一点至关重要。在明确了树状数组需要表达的东西之后，求解出的前缀和也就具有不同的含义。接下来我们会从从归并排序以及前缀和两个角度求解这个问题，带小伙伴们更加深入的了解树状数组，感兴趣的小伙伴可以点个关注。

知识预备

这里大家可以看一下我往期的文章

树状数组

链接: https://blog.csdn.net/2302_77698668/article/details/132662965

归并排序求解逆序对

链接: https://blog.csdn.net/2302_77698668/article/details/132642179

问题描述

n 个小朋友站成一排。

现在要把他们按身高从低到高的顺序排列，但是每次只能交换位置相邻的两个小友。

每个小朋友都有一个不高兴的程度。开始的时候，所有小朋友的不高兴程度都是 0如果某个小朋友第一次被要求交换，则他的不高兴程度增加 1，如果第二次要求他换则他的不高兴程度增加 2（即不高兴程度为 3），依次类推。当要求某个小朋友第 k 次交换时，他的不高兴程度增加 k

请问，要让所有小朋友按从低到高排队，他们的不高兴程度之和最小是多少。
排序，我们可以联想到最小时间复杂度的排序--归并排序
如果有两个小朋友身高一样，则他们谁站在谁前面是没有关系的。

输入格式
输入的第一行包含一个整数 n，表示小朋友的个数。

第二行包含 n
个整数 H1,H2,…,Hn，分别表示每个小朋友的身高。

输出格式
输出一行，包含一个整数，表示小朋友的不高兴程度和的最小值。

数据范围
1≤n≤100000
,
0≤Hi≤1000000这里的数据是从0 开始，待会要注意
输入样例：
3
3 2 1
输出样例：
9
样例解释
首先交换身高为3和2的小朋友，再交换身高为3和1的小朋友，再交换身高为2和1的小朋友，每个小朋友的不高兴程度都是3，总和为9。

问题分析

要让所有小朋友按从低到高排队

这里涉及到交换，看完逆序对问题的小伙伴肯定会容易联想到逆序对，而一个小盆友需要进行交换的次数就是其逆序对的数目

输入样例：
3
3 2 1
输出样例：
9
样例解释
首先交换身高为3和2的小朋友，再交换身高为3和1的小朋友，再交换身高为2和1的小朋友，每个小朋友的不高兴程度都是3，总和为9。
再举个例子
假设我们有3 4 5 2 1 3，我们在这里对 5 分析
，5 的逆序对有（5，2 ）（5，1 ）（5,3），要交换 3 次
如果觉得这个例子特殊，那么我们再看一个
7 6 5 2 6 2 3 1 ,我们还是取 5 分析，跟5有关的逆序对是
（7,5）（6，5）（5,2）（5,2）（5,3）（5,1）
最后我们排序，5 要交换 6 次

树状数组的解法

前面我们提到过，树状数组当中最重要的是对树状数组的定义，我们这里将 tr [ N ] 作为树状数组，表示 i 在原数组出现的次数，query (h[i])操作可以得出在 h [ i ]之前小于等于 h[i] 的数的个数和
通过 i - query( h [ i ])可以得到 h [ i ] 之前大于 h [ i ] 的数量，也就是逆序对的数量；
那么对于 h [ i ] 之后的数呢？
很明显要求解 h [ i ] 之后逆序对的数量，我们要找到那些大于 h 1[ i ] 的数的个数和；那么如何找到呢？

----------》》》》答案很简单，把数组反过来输入树状数组一遍；
举例说明输入 3 4 5 2 1到树状数组当中，还是对 5 分析，通过i - query( h [ i ])操作我们可以得到 0 个逆序对
但是反向输入 1 2 5 4 3 我们通过query(h[i] - 1) 我们可以得到（1,5）（4,5） 2 个逆序对，那么为什么要-1呢？
query(h[i]) 是小于等于 h[i]的个数和，但是根据题目的题意，我们是不能包括h[i]的

代码【树状数组版】

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N =1e6 + 7;
long long tr[N],cnt[N],h[N];
//这里的累加值比较大，用int无法承接，在测试数据的时候回出现负数
//所以我们采用 long long
int n;
int lowerbit(int x){
    return x & -x;
}
void add(int x,int v){
    for(int i=x;i<N;i+=lowerbit(i)){
        tr[i]+=v;
    }
}
int query(int x){
    int res=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowerbit(i)){
        res+=tr[i];
    }
    return res;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>h[i];
        h[i]++;//由于输入的数据包括 0  ，这里我们做 +1 处理，避免边界问题
        add(h[i],1);
        cnt[i]+=i-query(h[i]);
    }
    memset(tr,0,sizeof tr);//由于需要重新输入，所以需要重置树状数组
    for(int i=n;i>=1;i--){
        add(h[i],1);
        cnt[i]+=query(h[i]-1);
    }
    long long res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        res+=cnt[i]*(cnt[i]+1)/2;
        //小学公式，（首项 + 末项）/2
        //得知交换次数后，可以通过这个公式计算出不满度
    }
    cout<<res;
    return 0;
}

归并排序解法

暴力条件下

这段代码是一个使用归并排序算法的实现，同时还添加了一个功能来计算在排序过程中每个元素的总移动长度。

代码首先从输入中读取一个整数n，表示要排序的元素数量。然后，通过循环读取n个元素的身高，并将其存储在一个结构体数组q中。每个元素包含身高h、上一次位置idx和移动长度m。

接下来，调用merge_sort函数对数组q进行归并排序。归并排序是一种分治算法，它将数组分成两个子数组，分别进行排序，然后将两个排序好的子数组合并成一个有序的数组。在归并排序过程中，会通过比较身高h来确定元素的顺序，并将排序结果存储在临时数组tmp中。

在合并两个子数组时，还会更新元素的上一次位置idx，并将本次移动长度累加到总长度m。

最后，通过遍历数组q，计算每个元素的移动长度，并将其累加到变量cnt中。移动长度的计算公式为(m+1)*m/2，其中m为元素的移动长度。

最后输出变量cnt的值，即为排序过程中所有元素的总移动长度。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N =1e6 + 7;
long long tmp[N],q[N],cnt[N];
int n,ans;
void merge_sort(int l,int r){
    if(l>=r) return ;
    int mid=l+r>>1;
    merge_sort(l,mid);
    merge_sort(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1;
    int k=1;
    while(i<=mid && j<=r){
        if(q[i]<=q[j]) tmp[k++]=q[i++];
        else{
            cnt[q[j]]+=mid-i+1;
            for(int u=i;u<=mid;u++) cnt[q[u]]++;
            tmp[k++]=q[j++];
        }
    }
    while(i<=mid) tmp[k++]=q[i++];
    while(j<=r) tmp[k++]=q[j++];
    for(int i=l,j=1;i<=r;i++,j++){
        q[i]=tmp[j];
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    long long max_x=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>q[i];
        q[i]++;
        max_x=max(max_x,q[i]);
    }
    merge_sort(1,n);
    // cout<<ans;
    long long res=0;
    // cout<<max_x<<endl;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        res+=((cnt[i]+1)*cnt[i])>>1;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

但是这样最坏的时间复杂度是 n * n *log n 会超时，还不如直接暴力计算

线性条件下

为了将时间复杂度降下来，我们就只好提高空间复杂度了，看过往期文章的小伙伴们就可以猜到这样的做法了
三个要素：数据本身的值，上一次的值，数字移动的距离
我们这里用结构体表示

struct {
    int h; //身高
    int last;//上一次位置
    LL step; //移动长度
} q[N], tmp[N];

接下来用归并排序中的临时数组 tmp [ N] 来更新数组 q[N]

for (i = l; i < k; i++) {
        q[i] = {tmp[i].h, i, tmp[i].step + abs(tmp[i].last - i)};
    }

代码【归并排序线性版】

详细的细节会在代码注释当中

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;//前面在树状数组代码当中提到过，累加的值极大，所以要用
//long long 来进行储存
int n;

struct {
    int h; //身高
    int last;//上一次位置
    LL step; //移动长度
} q[N], tmp[N];

void merge_sort(int l, int r) {
    if (l >= r) {
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(l, mid), merge_sort(mid + 1, r);
    int k = l, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i].h <= q[j].h) {
            tmp[k++] = q[i++];
        } else {
            tmp[k++] = q[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = q[i++];
    }
    while (j <= r) {
        tmp[k++] = q[j++];
    }
    //这上面都是归并排序的常规操作
    //----------------------------
    //更新上一位置 idx
    //将本次移动长度累加到总长度
    for (i = l; i < k; i++) {
        q[i] = {tmp[i].h, i, tmp[i].step + abs(tmp[i].last - i)};
    }
}

int main() {
 
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> q[i].h;
        q[i].last = i;//这里的学生上一次位置在这里进行初始化
    }
    merge_sort(1, n);
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res += (q[i].step + 1) * q[i].step / 2;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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