重新梳理一下归并排序以及一些相关的东西。
对于归并排序大家如果需要回忆下是个什么东西的话，可以点击这个链接，里面有各种排序的动画演示以及讲解，比我再用文字赘述一遍要好得多，功能相当强大。
先给出归并排序的js代码实现：
function mergeSort(arr, l, r) {
if (l === r) {
return;
}
let mid = Math.floor((r + l) / 2);
mergeSort(arr, l, mid);
mergeSort(arr, mid + 1, r);
merge(arr, l, mid, r);
}
function merge(arr, l, mid, r) {
let leftIndex = l;
let rightIndex = mid + 1;
let helpArr = [];
while(leftIndex <= mid && rightIndex <= r) {
let leftItem = arr[leftIndex];
let rightItem = arr[rightIndex];
if (leftItem < rightItem) {
helpArr.push(leftItem);
leftIndex++;
} else {
helpArr.push(rightItem);
rightIndex++;
}
}
// 这俩循环只会进去一个，因为经过上面的比较，要么左边部分走完了，要么右边部分走完了
while(leftIndex <= mid) {
helpArr.push(arr[leftIndex]);
leftIndex++;
}
while(rightIndex <= r) {
helpArr.push(arr[rightIndex]);
rightIndex++;
}
for (let index = 0; index < helpArr.length; index++) {
arr[l] = helpArr[index];
l++;
}
}
如何估计归并排序的时间复杂度呢？
由于上面采用了递归写法，我们使用master公式对递归进行时间复杂度估算，以下是公式详情。
T(n) = a*T(n/b) + O(n^d)
(1)、log(b, a) > d => 复杂度为O(n^log(b, a))
(2)、log(b, a) = d => 复杂度为O(n^d*logn)
(3)、log(b, a) < d => 复杂度为O(n^d)
a代表递归的次数，由于在mergeSort中调用了两次mergeSort，所以归并排序中a = 2。
b代表样本量被划分几份，由于我们对样本量是一分为二将数组分为left和right部分，所以归并排序中b = 2。
O(n^d)代表其他操作的时间复杂度，所以在归并排序中主要是merge这个函数，相当于是执行了一次数组遍历，则为O(n)。
a = 2，b = 2，d = 1根据master公式，复杂度为nlogn。
我们知道冒泡排序、选择排序、插入排序的时间复杂度都是O(n^2)，当样本量比较大的时候，n^2比之nlogn差了可不是一星半点。这是为什么呢？因为在其他三种排序中，会浪费元素之间的比较，比如冒泡排序冒泡比较一轮只定位了一个元素，下一轮冒泡又只定位一个元素，会浪费元素之间的相互比较；而归并排序通过分治，由小到大进行比较合并的过程中，上一次比较合并的元素不会再次发生比较，有序的区域成规模增长，这样就不会浪费比较，节省了时间。
由归并排序引入数组小和问题和数组逆序对问题。
根据小和的题目要求，我们思考一下可以发现，在归并排序过程中，left和right部分进行比较合并的时候，其实就可以找到左边部分比右边部分小的数，意思就是说我们可以很方便的在merge这个函数执行过程中来计算数组的小和且会快很多，因为合并的时候左右两遍都是有序的，如果一个数比右边的第一个数字小，我们可以得知这个数字肯定比右边全部的数字都小。
举个例子，比如left = [1,2,3]，right = [4,5,6]，1小于4，说明右边三个数都比1大，假如说小和等于sum，那么sum就要加1 * 3。
代码实现一下小和：
function smallSum(arr) {
if (!arr || arr.length < 2) {
return 0;
}
return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
function mergeSort(arr, l, r) {
if (l === r) {
return 0;
}
let mid = Math.floor((l + r)/2);
return mergeSort(arr, l, mid)
+ mergeSort(arr, mid + 1, r)
+ merge(arr, l, mid, r)
}
function merge(arr, l, mid, r) {
let leftIndex = l;
let rightIndex = mid + 1;
let helpArr = [];
let sum = 0;
while(leftIndex <= mid && rightIndex <= r) {
let leftItem = arr[leftIndex];
let rightItem = arr[rightIndex];
if (leftItem < rightItem) {
/**相对于归并排序增加的部分**/
let tempSum = (r - rightIndex + 1) * leftItem
sum += tempSum;
/***************************/
helpArr.push(leftItem);
leftIndex++;
} else {
helpArr.push(rightItem);
rightIndex++;
}
}
/**这部分和归并排序merge函数一样**/
return sum;
}
对于小和都知道如何使用归并排序进行求解之后，逆序对其实和小和是一样的，只是反过来了而已，以下直接贴出代码。
function inversePairs(arr) {
if (!arr || arr.length < 2) {
return [];
}
return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
}
function mergeSort(arr, l, r) {
if (l === r) {
return [];
}
let mid = Math.floor((l + r)/2);
return [
...mergeSort(arr, l, mid),
...mergeSort(arr, mid + 1, r),
...merge(arr, l, mid, r)
];
}
function merge(arr, l, mid, r) {
let leftIndex = l;
let rightIndex = mid + 1;
let helpArr = [];
let res = [];
while(leftIndex <= mid && rightIndex <= r) {
let leftItem = arr[leftIndex];
let rightItem = arr[rightIndex];
if (leftItem < rightItem) {
helpArr.push(leftItem);
leftIndex++;
} else {
/**相对于归并排序增加的部分**/
res.push([leftItem, rightItem]);
/***************************/
helpArr.push(rightItem);
rightIndex++;
}
}
/**这部分和归并排序merge函数一样**/
return res;
}
以上是对归并排序这部分内容进行的一些回顾和总结，希望能加深自己对它的理解，能在其他更多的地方将其运用上；如果有不正确的地方，大家可以踊跃指出，我将及时改正。
