投资目前成为了一种十分流行的理财方式了。据相关数据，我们了解到黄金与比特币在金融市场上价格都具有波动性，市场交易员不定期的买入和卖出资产，其目的是使其回报最大化。本文就基于该目的对黄金与比特币五年的价格变化进行了分析，并通过建立相关模型进行预测，进而为交易员提供最佳的当日交易策略。

        对于问题1：通过所提供的黄金与比特币的价格数据集进行统计分析，开发基于时间序列的差分整合移动平均自回归模型，即ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average Model)。通过该模型来对黄金与比特币的价格变化趋势进行预测。采用ACF，即自相关函数；PACF，偏自相关函数对黄金与比特币进行分析，以及对黄金与比特币的价格数据进行平稳性检验，对模型进行残差检验，我们发现比特币的价格波动是很大的，而黄金的波动并不大，进而更好的帮助我们进行预测投资结果和提供最佳交易策略。

        对于问题2：我们采用专家所提出来的5天移动平均法，对预测模型进行进一步改进，从而使交易策略更加准确。通过预测未来的黄金与比特币的价格来对当前的经营进行决策。我们还进行了风险分析发现，黄金的价格波动较小，呈稳定趋势；而比特币的价格波动较大，呈不稳定趋势。因此我们的模型选择使用适量的本金去投资黄金，把剩余的大部分投资比特币，这样协调风险，使利润最大化。

        对于问题3：为了确定不同交易成本对战略带来的影响与结果，我们对它进行了敏感性分析，其中黄金和比特币的交易费用上限都是0.3%，随着交易成本的增加，比特币对最终回报的影响更为显著，因此，交易成本很容易影响比特币的决策，比特币对交易成本更敏感。

        最后，我们通过备忘录向市场交易员传达了我们的模型建议，希望对他在买入和卖出资产中有所帮助。但是值得注意的是，市场投资都存在一定的风险，在投资时需谨慎。

关键字: 时间序列预测; ARIMA ；5天移动平均法；最佳交易策略

下表(Table 2)即缺失值所对应的日期，这些日期为工作日、平安夜和圣诞节。为方便进行数据分析，并确保数据的可靠性和合理性，我们将黄金价格缺失值设置为前一天和后一天的平均值，下表(Table 3)即为缺失值补充后的数据，下图（table 3）即为补充缺失值后所得完整的时序图。

(Table 2)黄金价格缺失值日期

（table 3）黄金价格缺失值的补充

Figure 1:黄金价格完整时序图

 Figure 2:比特币价格时序图

        根据所提供的两个数据表，我们对其采用统计的方法进行了分析，并绘制了16年9月至2021年9月黄金价格变化与比特币价格变化的统计图如图(Figure4、Figure5)。从黄金和比特币的价格变化图可以观察到，黄金与比特币的价格在几年内都发生了巨大变化，尤其是比特币价格的变化更为强烈。据数据得到黄金的最低价格为1125.70美元，最高价格为2067.50美元，黄金的变化范围为941.45美元；比特币的最低价格为594.08美元，最高价格为63554.44美元，比特币的变化范围是62960.36美元。

 Figure 3:黄金价格变化图

 Figure 4:比特币价格变化图

ARIMA模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model)是差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型，是时间序列预测分析方法之一[3]。 其中AR是自回归模型，能描述当前值与历史值之间的关系，因此，它可以描述黄金与比特币过去价格与目前价格的关系。I是差分模型。MA是移动平均模型，主要作用于自回归模型中的误差项的累加，能有效的消除预测中的随机波动。

P阶自回归过程的公式定义：

 q阶自回归过程的公式定义：

ARMA模型公式为：

        ARIMA(p,d,q)，其中p为回归项，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。其原理是将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。确定ARIMA中p,d,q三个参数的方法如下表(Table 4)所示

 Table 4:选择ARIMA模型的方法

        自相关函数ACF(Autocorrelation Function)有序的随机变量序列与其自身相比较，自相关函数可以反映出同一序列在不同时序的取值的相关性。

ACF公式：

最优交易策略证明

        如上所述，ARIMA模型在预测未来价格变化方面具有较高的准确性，这使得我们可以利用未来的预测价格来对当前的经营进行决策。预测模型的准确性越高，我们做出最优决策的概率就越大。但是，即使我们的预测模型很好，也不能达到100%的准确率。因此，因此，我们介绍专家研究提出的5天移动平均法，对预测模型做出的决策进行一定的修正，从而使决策更优。

        5天移动平均线是一种将大量价格曲线与大数据分析相结合，利用过去5天的价格来确定价格走势的方法，已经被证明是有效的。5天移动平均线是移动平均线系统的短期平均线，反映了价格或指数的短期趋势。有些人也把5天移动平均线称为攻击线。不管价格或指数的短期趋势是上升还是下降，5天移动平均线的运行角度的陡度代表了价格或指数的短期上升或下降趋势的大小

        所以，通过构建一个优秀的预测模型，运用经验法则，就有可能对当天及以后的价格走势做出相当准确的判断和预测，从而做出科学准确的决策。

        我们分析发现黄金的价格波动较小，呈现稳定趋势，而比特币的价格波动很大，呈现不稳定趋势。所以投资黄金的风险比投资比特币的风险要低。尽管比特币的价格涨幅远远超过黄金，但将所有本金投资于比特币的风险更大。考虑到每位投资者能够承担风险的能力大小，对于保守型投资者优选黄金，而对于有长远规划的投资者更倾向于比特币。最优方案是不使用全部本金购买比特币，相反，我们的模型选择了一种折衷的解决方案:使用适量的本金去投资黄金，把剩余大部分本金用来投资比特币。这将有效地协调风险和回报，使最终利润最大化

敏感性分析

        为了确定我们的模型对不同交易成本的敏感性，我们进行了的敏感性分析。在分析中，黄金的交易成本从0.005%到0.3%，比特币的交易成本从0.01%到0.3%不等。黄金和比特币的交易费用上限都是0.3%，规定经纪交易佣金最高不超过交易金额的0.3%

        灵敏度分析结果可以从Figure4看出，比特币的波动比黄金大得多，随着比特币相对于黄金交易成本的增加，比特币对总收益的影响更为显著。这是因为比特币的价格远高于黄金，交易成本很容易影响比特币的决策。因此，比特币对交易成本比黄金更敏感。

        分析结果表明，在给定区间内，黄金交易成本变动时，最终利润的最大波动量为5.31%;在给定范围内，比特币交易成本变化时，最终利润的最大波动量为0.45%。因此，随着黄金和比特币交易成本的变化，总收益波动并不明显，这表明ARIMA模型对黄金和比特币的交易成本具有很好的鲁棒性。

备忘录

Dear Trader,

        黄金作为一种金融属性的产品，其价格变化直接决定了黄金投资者和生产者的价值行为[5]。比特币亦是如此。当今社会，全球经济发展迅速，“投资”这一名词逐渐被广大人民群众所熟知。投资使一项既有回报，又有风险的一线工程。为了得到最佳的交易策略，我们根据过去五年的黄金和比特币的价格趋势建立了一个交易策略模型，以此来帮助您更好的投资。

        我们团队利用提供的近五年黄金与比特币价格变化的数据进行统计性分析，通过开发了一个基于时间序列预测的差分整合移动平均自回归模型，即ARIMA模型。采用ACF，PACF分析了黄金与比特币价格数据的相关性。之后，我们对黄金与比特币价格变化的数据集进行了平稳性检验以及对模型进行了残差检验，充分证明了我们团队所建立模型的合理性。因此，我们预测出来的结果才更加的准确。

        通过基于我们所建立的模型，对模型采取优化，并通过相关方法去证明了我们所开发模型的有效性，并且为投资黄金与比特币提供了当天的最佳交易策略。使用该模型所提供的交易策略，可以为投资者降低投资风险且获得最大利润。

        我们团队对该模型也进行了交易成本的检验，尽管交易成本发生变化，通过该模型来提供相应的交易策略，我们通过计算观察发现，在给定区间内，黄金交易成本变动时，最终利润的最大波动量为5.31%;在给定范围内，比特币交易成本变化时，最终利润的最大波动量为0.45%。因此，随着黄金和比特币交易成本的变化，总收益波动并不明显，交易成本的变化不会对相应的交易策略和结果造成影响。

        黄金与比特币作为一种新兴资产，其都伴随者高回报与高风险。我们所运用的数据、模型、和策略仅在黄金与比特币的价格变化趋势上运行。对于日常的金融交易，我们的模型可进一步优化。感谢您在百忙之中阅读我们的备忘录，希望我们的建议对您有用。

Yours Sincerely.

References

1. Chi Zhang. Gold demand rise long-term allocation value attention [N]. Financial Times, 2021-11-05(007).DOI:10.28460/n.cnki.njrsb.2021.005784.
2. Ke Gan. Analysis of influencing factors of Bitcoin price [D].Central China Normal University, 2021.DOI:10.27159/d.cnki.ghzsu.2021.000368.
3. Gege Duan. Research on Bitcoin Price Prediction based on ARIMA model [J]. Modern marketing (Next issue),2021(01):27-29.DOI:10.19932/j.cnki.22-1256/F.2021.01.027.
4. Jinjie Yao. Exploration of optimal trading strategy under exogenous institutional constraints on the speed of securities trading[J].Trade show economy,2022(14):104-106.DOI:10.19995/j.cnki.CN10-1617/F7.2022.14.104.
5. Xu Liping, Luo Mingzhi. Short-term analysis and prediction of gold price based on ARIMA model [J]. Science of Finance and Economics,2011(01):26-34.