计算加法时，为了简化同一个数与自己多次相加我们定义了乘法：
同样的，为了简化一个数与自己多次相乘，我们定义了乘方：
因为这些新的标记方式和新的需要，我们把乘法和乘方运算里的n扩展到了有理数。其中它的特点是：
现在我们再来看看积分是否也有类似的扩展，即
推导公式就好比做手工，而在有工具的帮助下，我们的手工制作会变得高效。所以，在有引理（Lemma）的帮助下我们的证明也会变得方便。现在我们就来看看第一个引理：
引理1：
若
引理1的证明：
我们先看一下等式左侧的二重积分区域：
根据图像，我们可以进行如下的积分交换：
定义新的算子表示对函数进行n次积分：
依照定义，二阶积分算子的定义为：
根据我们上面得到的引理，我们可以将积分顺序改变，得到：
有了
