python机器学习手写算法系列——线性回归

本系列另一篇文章《决策树》
https://blog.csdn.net/juwikuang/article/details/89333344

本文源代码：
https://github.com/juwikuang/machine_learning_step_by_step

最近我发现我之前写的一篇文章《一个公式告诉你为什么程序员要转算法工程师》
http://blog.csdn.net/juwikuang/article/details/73057194
有很多人访问。我想，很多程序员和我当初一样，想从程序员转算法工程师。

说说我当初为什么会想到升级成算法工程师。记得三年前，我还在印孚瑟斯（Infosys），我们的CFO非常自豪的宣布公司已经成功的让专科生的比例提高了，让本科生的比例降低了。我作为一个本科程序员，听了十分难受。当然，公司这样做是为了利润，也合理合法。换了我是CFO，我也会这样做，不过，我应该不会像他一样大声说。有些事，可以做，不能说。

后来，机缘巧合，我学习了机器学习，走上了算法工程师这条路。当时我学机器学习，是从吴恩达（Andrew Ng）的Coursera课程开始的。很多人和我一样，也是开了这门课，开始机器学习的。这门课挺好，可惜开发语言用了Octave，以至于我每次写作业，都很痛苦，因为我还要学Octave语言，而且这东西学了也没啥用。另外，这门课是英语的，只有少数人能看懂。

本文的目的，就是从最基本，最简单的机器学习算法讲起，手把手的教你实现这个算法。一边编程，一边就明白这个算法的原理了。我本人也是程序员转的算法工程师，我们的强项就是编程，弱项就是数学。我针对这个特点，专门做了以下教程。

言归正传。首先我们看看线性回归在整个机器学习里的位置。

从机器学习到线性回归

今天，我们只关注机器学习到线性回归这条线上的概念。别的以后再说。为了让大家听懂，我这次也不查维基百科了，直接按照自己的理解用大白话说，可能不是很严谨。

机器学习就是机器可以自己学习，而机器学习的方法就是利用现有的数据和算法，解出算法的参数。从而得到可以用的模型。

监督学习就是利用已有的数据（我们叫X，或者特征），和数据的标注（我们叫Y），找到x和y之间的对应关系，或者说是函数f。

回归分析是一种因变量为连续值得监督学习。

线性回归是一种x和y之间的关系为线性关系的回归分析。 y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + b y=a_1x_1+a_2x_2+b y=a1​x1​+a2​x2​+b，这个叫线性关系。如果这里出现了 x 2 x^2 x2, l o g ( x ) log(x) log(x), s i n ( x ) sin(x) sin(x)之类的，那就不是线性关系了。

一元线性回归说的是，自变量x是一个纯量（scalar）。scalar类型的变量，是不可再分的。

我希望你能说明白这些概念的关系。不过，我自己也是花了很久才了解清楚的。如果你没听明白，也没关系。毕竟都是概念，没什么实际的例子，也很难理解。等你看完了本文，了解了一元线性回归。回过头来再看这些概念，就能更好的理解了。

问题

这里，我们的问题是，找出算法工程师和程序员之间的工资关系。这里直接给出北京，上海，杭州，深圳，广州的工资。

城市	x-程序员工资	y-算法工程师工资
北京	1.3854	2.1332
上海	1.2213	2.0162
杭州	1.1009	1.9138
深圳	1.0655	1.8621
广州	0.09503	1.8016

把他们用图打出来看看他们之间的关系。

由图可见，他们之间大致是一个线性关系，这时候，我们就可以试着用一元线性回归去拟合（fit）他们之间的关系。

数学模型

一元线性回归公式

以下是公式
y = a x + b + ε y=ax+b+ε y=ax+b+ε

y 为应变量 dependent variable
x 为自变量 independent variable
a 为斜率 coeffient
b 为截距 intercept
ε （读作epsilon）为误差，正态分布
线性回归的目标是，找到一组a和b，使得ε最小
y ^ = a x + b \hat{y}=ax+b y^​=ax+b
ε = y − y ^ ε=y-\hat{y} ε=y−y^​

y ^ \hat{y} y^​ 读作y hat，也有人读作y帽子。这里的帽子一般表示估计值，用来区别真实值y。

下图可以更好的帮助你理解。

（图片来自互联网）

黑色的点为观测样本，即 y = a x + b + ε y=ax+b+ε y=ax+b+ε。

x红色的线为回归线，即 y ^ = a x + b \hat{y}=ax+b y^​=ax+b。

x蓝色的线段为误差，即 ε = y − y ^ ε=y-\hat{y} ε=y−y^​

方差 - 损失函数 Cost Function

在机器学习中，很多时候，我们需要找到一个损失函数。有了损失函数，我们就可以经过不断地迭代，找到损失函数的全局或者局部最小值（或者最大值）。损失函数使得我们的问题转化成数学问题，从而可以用计算机求解。在线性回归中，我们用方差作为损失函数。我们的目标是使得方差最小。

下面的表格解释了什么是方差。

其中SSE(Sum of Square Error)是总的方差，MSE（Mean Square Error）是方差的平均值。

而这里的损失函数，用的是0.5 * MSE。即：

J ( a , b ) = 1 2 n ∑ i = 0 n ( y i − y ^ i ) 2 J(a,b)=\frac{1}{2n}\sum_{i=0}^{n}(y_i−\hat{y}_i )^2 J(a,b)=2n1​∑i=0n​(yi​−y^​i​)2

记住，这里的损失函数是针对参数a和b的函数，y和 y ^ \hat{y} y^​ 其实都是已知的。

优化方法 Optimization Function

有了损失函数，我们还需要一个方法，使得我们可以找到这个损失函数的最小值。机器学习把他叫做优化方法。这里的优化方法，就是算损失的方向。或者说，当我的参数变化的时候，我的损失是变大了还是变小了。如果a变大了，损失变小了。那么，说明a增大这个方向是正确的，我们可以朝着这个方向继续小幅度的前进。反之，就应该考虑往相反的方向试试看。因为每个参数（a和b）都是一维的，所以，所谓的方向，无非就是正负符号。

这里，我们需要用偏微分的方法，得到损失函数的变化量。即：

∂ J ∂ a = ∂ 1 2 n ∑ i = 0 n ( y i − y ^ i ) 2 ∂ a \frac{\partial J}{\partial a} = \frac{\partial \frac{1}{2n}\sum_{i=0}^{n}(y_i−\hat{y}_i )^2}{\partial a} ∂a∂J​=∂a∂2n1​∑i=0n​(yi​−y^​i​)2​
= 1 n ∑ i = 0 n ( y i − a x i − b ) ∂ ( y i − a x i − b ) ∂ a = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}(y_i-ax_i-b) \frac{\partial (y_i-ax_i-b)}{\partial a} =n1​∑i=0n​(yi​−axi​−b)∂a∂(yi​−axi​−b)​
= 1 n ∑ i = 0 n ( y i − a x i − b ) ( − x i ) = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}(y_i-ax_i-b) (-x_i) =n1​∑i=0n​(yi​−axi​−b)(−xi​)
= 1 n ∑ i = 0 n x ( y ^ i − y i ) = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}x(\hat{y}_i-y_i) =n1​∑i=0n​x(y^​i​−yi​)

∂ J ∂ b = ∂ 1 2 n ∑ i = 0 n ( y i − y ^ i ) 2 ∂ a \frac{\partial J}{\partial b} = \frac{\partial \frac{1}{2n}\sum_{i=0}^{n}(y_i−\hat{y}_i )^2}{\partial a} ∂b∂J​=∂a∂2n1​∑i=0n​(yi​−y^​i​)2​
= 1 n ∑ i = 0 n ( y i − a x i − b ) ∂ ( y i − a x i − b ) ∂ b = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}(y_i-ax_i-b) \frac{\partial (y_i-ax_i-b)}{\partial b} =n1​∑i=0n​(yi​−axi​−b)∂b∂(yi​−axi​−b)​
= 1 n ∑ i = 0 n ( y i − a x i − b ) ( − 1 ) = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}(y_i-ax_i-b) (-1) =n1​∑i=0n​(yi​−axi​−b)(−1)
= 1 n ∑ i = 0 n ( y ^ i − y i ) = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}(\hat{y}_i-y_i) =n1​∑i=0n​(y^​i​−yi​)

如果你已经忘了微积分，你暂时可以不必纠结上面的公式，只要知道公式给出了损失函数的变化就可以了。伟大的python还提供了sympy，你可以用sympy做微积分。这部分我也放在附件代码里了，有兴趣的可以看一下。

之前说到，整过迭代过程是小幅度进行的。这里，就需要一个超参数来控制这个过程。这个超参数就是 α \alpha α，通常是0.01.

这时，我们就可以去更新a和b的值：
a = a − α ∂ J ∂ a a = a - \alpha \frac{\partial J}{\partial a} a=a−α∂a∂J​
b = b − α ∂ J ∂ b b = b - \alpha \frac{\partial J}{\partial b} b=b−α∂b∂J​

到这里，在你继续往下读之前，你先自己考虑一下，为什么这里是负号？

你考虑好了么，如果你考虑好了，我就公布答案了。

本身 ∂ J ∂ a \frac{\partial J}{\partial a} ∂a∂J​ 和 ∂ J ∂ b \frac{\partial J}{\partial b} ∂b∂J​ 是损失函数的变化量。如果损失函数随着a变大了，即 ∂ J ∂ a \frac{\partial J}{\partial a} ∂a∂J​ 为正。说明a的增大会导致损失函数的增大。那么是不是说，a的减小会使得损失函数减小呢？而我们的目标是使得J最小，所以，这个时候，我们的a要减小一点点。

（图片来自互联网）

算法步骤

1. a和b的起始值设置为零
2. 通过模型 y ^ = a x + b \hat{y}=ax+b y^​=ax+b，我们可以算出 y ^ \hat{y} y^​
3. 有了 y ^ \hat{y} y^​，就可以用优化方法算去更新参数
4. 重复2和3，直到找到J的最小值

流程图如下：

下图解释了模型，损失函数和优化方法之间的关系。

Python 实现

理论部分先告一段落，我们现在开始写代码，实现一元线性回归。

首先是模型，这个很简单：

def model(a, b, x):
    return a*x + b

接着，是损失函数：

def cost_function(a, b, x, y):
    n = 5
    return 0.5/n * (np.square(y-a*x-b)).sum()

最后，是优化函数：

def optimize(a,b,x,y):
    n = 5
    alpha = 1e-1
    y_hat = model(a,b,x)
    da = (1.0/n) * ((y_hat-y)*x).sum()
    db = (1.0/n) * ((y_hat-y).sum())
    a = a - alpha*da
    b = b - alpha*db
    return a, b

以上三个函数中a和b是标量（scalar value），x和y是向量（vector）
至此，一元线性回归的主要部分就完成了。一共才14行代码，是不是很简单。

训练模型

有了模型，损失函数，优化函数，我们就可以训练模型了。具体过程请见附件代码。

这里给出分别训练1次，再训练5次，再训练10次，再训练100，再训练10000次的模型。

从上面几幅图，我们可以看到，随着训练次数的增加，回归线越来越接近样本了。我们自己写的线性回归比较简单，我只能目测，凭直觉感觉损失函数已经达到了最小值，我们就停在10000次吧。

看得再多，不如自己动手。阅读下一章节之前，请自己实现一元线性回归。

这里有现成的代码，供你参考。

http://download.csdn.net/download/juwikuang/10050886

模型评价

在机器学习中，模型的好坏是有标准的。在回归模型中，我们用 R 2 R^2 R2 来评价模型。公式：
R 2 = S S R / S S T R^2=SSR/SST R2=SSR/SST
其中
S S R = ∑ i = 0 n ( y ^ i − y ˉ ) SSR=\sum_{i=0}^{n}(\hat{y}_i-\bar{y}) SSR=∑i=0n​(y^​i​−yˉ​)
S S T = ∑ i = 0 n ( y i − y ˉ ) SST=\sum_{i=0}^{n}(y_i-\bar{y}) SST=∑i=0n​(yi​−yˉ​)
y ˉ \bar{y} yˉ​ 读作y bar，是y的平均值。
可以证明 S S T = S S R + S S E SST=SSR+SSE SST=SSR+SSE，证明过程又会涉及到期望等概念，我们这里不展开了。

好了，现在你应该回到代码中去计算 R 2 R^2 R2 了。

用scikit-learn训练和评价模型

平时在工作中，我们不可能自己去写回归模型，最常用的第三方工具是scikit-learn。
其官网是：
http://scikit-learn.org/

以下是ipython代码。

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

x = [13854,12213,11009,10655,9503] #程序员工资，顺序为北京，上海，杭州，深圳，广州
x = np.reshape(x,newshape=(5,1)) / 10000.0
y =  [21332, 20162, 19138, 18621, 18016] #算法工程师，顺序和上面一致
y = np.reshape(y,newshape=(5,1)) / 10000.0
# 调用模型
lr = LinearRegression()
# 训练模型
lr.fit(x,y)
# 计算R平方
print lr.score(x,y)
# 计算y_hat
y_hat = lr.predict(x)
# 打印出图
plt.scatter(x,y)
plt.plot(x, y_hat)
plt.show()

恭喜你，看完了本文，也学会了一元线性回归。如果对你有帮助，请给我一个赞。你的支持和鼓励是我继续写下去的动力。

如果有疑问，请下面留言。

python机器学习手写算法系列

完整源代码：

https://github.com/juwikuang/machine_learning_step_by_step

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