perfect shuffle 算法
今天又发现一个关于完美洗牌的算法。这个比较简单一些，由 microsoft的Peiyush Jain提出。
原论文： A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle.
Peiyush Jain, Microsoft Corporation.
July 2004
问题描述：
所谓完美洗牌算法即是把输入为:
a_1,a_2........a_n,b_1,b_2.........b_n的序列变为
b_1,a_1,b_2,a_2.......b_n,a_n 这是in perfect shufle。相对应的还有out perfect shuffle。两者区别在于首尾元素位置变或不变。
perfect shuffle算法要求在O(n），时间内，O(1）空间内完成。
perfect shuffle实质是一个置换。置换为：
i -> 2*i mod (2*n+1)
由于置换可以分解为一系列不相交的轮换之积。故如果能找出所有轮换的一个代表元则可很容易解决问题。
如
n=3时 输入 1 2 3 A B C b => A 1 B 2 C 3所对应的轮换为（1，2，4）（3，6，5）
选代表元为1和3以及一个临时变量T：
2->T,1->2
1 2 3 A B C ----------->
4->1,T->4
_ 1 3 A B C ----------->
6->T,3->6
A 1 3 2 B C ----------->
5->3,T->5
A 1 _ 2 B 3 ----------->
A 1 B 2 C 3 置换完成
因此问题就转换为求置换的轮换分解中的代表元问题了。
文中巧妙的利用特定条件下每个不相交的轮换可有3的不同幂次生成。
我们分析长度2*n=3^k-1的置换的轮换分解。
考虑某一包含3^s（ 1 =< s < k ）的轮换。不妨记3^s为a_1，3^k记为m。
则轮换里的数分别为：
a_2 = 2* a_1 mod m
a_3 = 2* a_2 mod m;
a_4 = 2* a_3 mod m;
.
.
.
a_n = 2* a_n-1 mod m
a_1 = 2* a_n mod m
则 a_1 ≡2^n * a_1 mod m; ( 最后一项中的a_n用倒数第二行乘2替代，以此类推........)
因此每个3^s开始的一个轮换满足 : 3^s ≡3^s * 2^n mod 3^k ,且长度为n
现假设两个不同的3^s开始的轮换存在相交的元素,记为:p
p≡3^i*2^n mod 3^s
p≡3^j*2^m mod 3^s (i,j<s)
若n,m都为0,则显然i=j; 假设 i>j
否则应有:3^s ｜(3^i*2^n -3^j*2^m) ===>3^s ｜{ 3^i*( 2^n-3^(j-i)*2^m ) }
因为: gcd(3^s , ( 2^n -3^(j-i)*2^m) )=1 注:2^n - 3^(j-i)*2^m 只含2的幂次因子.因为由初等的数论知识可知道
am+bn即m,n的线性组合只能表示gcd(m,n)的倍数.
因此上面等式不能成立.
因此每个以不同的3^i开始的轮换不会相交.
上面证明了每个3^i开始的轮换不相交,还需要计算每个3^i起始的轮换覆盖了所有的元素,这可以采用计数的方法证明.
因为每个3^i开始的轮换的长度满足:
3^i≡3^i *2^N mod3^s 即2^N≡1mod3^(s-i)
所以N=φ(3^(s-i))=φ(3^s)/3^i { gcd (2,3)=1, N是满足等式最小的数}
对i从0到3-1求和就得所有轮换的元素个数为φ(3^s) . 3^s为素数,因此φ(3^s)=3^s-1,即覆盖了所有元素.
因此很容易得出各轮换的代表元就为3^0,3^1,3^2......3^i(i<k,i+1>k).
对于2*n不等于3^k-1的情况，可以巧妙的利用这个结论完成ferfect shuffle。
对于2*n不等于3^k-1时，先找一个最接近2*n且比2*n小的2*m=3^k-1。进行如下变换。
把序列中m+1到n+m的子序列循环右移m位。
A_1,A_2,A_3.......A_m-1,A_m，A_m+1......A_n，A_n+1，A_n＋2，.......A_n+m,A_n+m+1.....A_2*n ->
A_1,A_2,A_3.......A_m-1,A_n+1,A_n+2.....A_n+m,A_m,A_m+1......A_n+m+1................A_2*n
然后对前2*m子序列进行上面的perfect shuffle。然后对剩下的部分进行同样处理。
例如对于长为14的序列进行perfect shuffle置换：
输入序列为：
1 2 3 4 5 6 7 A B C D E F G
14=2*7≠3^k.与14最接近的3^k-1是8=3^2 - 1.因此先对4+1到7+4的子序列循环右移4位得：
1 2 3 4 A B C D 5 6 7 E F G
对前8位进行perfect shuffle移位后得：
A 1 B 2 C 3 D 4 5 6 7 E F G
剩下的子序列为
5 6 7 E F G
长度为6 最接近的2*m1=3^k1-1是 m=1
因此对 1+1 到3+1进行循环右移1位得
5 E 6 7 F G
进行2*m的perfect shuffle后得整个序列为：
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 6 7 F G
剩下的未处理的子序列为：
6 7 F G
同样的循环移位后为：
6 F 7 G
进行m=1的perfect shuffle得整个序列为：
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 7 G
剩下未处理的子序列为
7 G
长为2的轮换即交换，最后得整个序列为：
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7
完成perfect shuffle。
移位是线性时间，3^k - 1的perfect shuffle置换也是线性时间，最后的递归是对剩下的子序列进行同样的操作，因此整个过程在线性时间内完成。而且需要的辅助空间为常数－个额外临时变量。
实现代码：
#include "stdio.h"
//轮换
void Cycle(int Data[],int Lenth,int Start)
{
int Cur_index,Temp1,Temp2;
Cur_index=(Start*2)%(Lenth+1);
Temp1=Data[Cur_index-1];
Data[Cur_index-1]=Data[Start-1];
while(Cur_index!=Start)
{
Temp2=Data[(Cur_index*2)%(Lenth+1)-1];
Data[(Cur_index*2)%(Lenth+1)-1]=Temp1;
Temp1=Temp2;
Cur_index=(Cur_index*2)%(Lenth+1);
}
}
//数组循环移位 参考编程珠玑
void Reverse(int Data[],int Len)
{
int i,Temp;
for(i=0;i<Len/2;i++)
{
Temp=Data[i];
Data[i]=Data[Len-i-1];
Data[Len-i-1]=Temp;
}
}
void ShiftN(int Data[],int Len,int N)
{
Reverse(Data,Len-N);
Reverse(&Data[Len-N],N);
Reverse(Data,Len);
}
//满足Lenth=3^k-1的perfect shfulle的实现
void Perfect1(int Data[],int Lenth)
{
int i=1;
if(Lenth==2)
{
i=Data[Lenth-1];
Data[Lenth-1]=Data[Lenth-2];
Data[Lenth-2]=i;
return;
}
while(i<Lenth)
{
Cycle(Data,Lenth,i);
i=i*3;
}
}
//查找最接近N的3^k
int LookUp(int N)
{
int i=3;
while(i<=N+1) i*=3;
if(i>3) i=i/3;
return i;
}
void perfect(int Data[],int Lenth)
{
int i,startPos=0;
while(startPos<Lenth)
{
i=LookUp(Lenth-startPos);
ShiftN(&Data[startPos+(i-1)/2],(Lenth-startPos)/2,(i-1)/2);
Perfect1(&Data[startPos],i-1);
startPos+=(i-1);
}
}
#define N 100
void main()
{
int data[N]={0};
int i=0;
int n;
printf("please input the number of data you wanna to test(should less than 100):/n");
scanf("%d",&n);
if(n&1)
{
printf("sorry,the number should be even ");
return;
}
for(i=0;i<n;i++)
data[i]=i+1;
perfect(data,n);
for(i=0;i<n;i++)
printf("%d ",data[i]);
}
