高等代数 多项式环(第7章)1 一元多项式环,整除关系,带余除法

一.一元多项式环(7.1)
1.一元多项式
(1)一元多项式的定义:

(2)一元多项式的次数:

(3)一元多项式的运算:

另外,可以证明 K [ x ] K[x] K[x]是数域 K K K上的1个线性空间, K [ x ] K[x] K[x]的1个基是 { 1 , x , x 2 . . . } \{1,x,x^2...\} {1,x,x2...}

(4)一元多项式的和与积的次数:

命题1:设 f ( x ) , g ( x ) ∈ K [ x ] f(x),g(x)∈K[x] f(x),g(x)∈K[x],则 d e g ( f ( x ) ± g ( x ) ) ≤ m a x { d e g   f ( x ) , d e g   g ( x ) } ( 5 ) d e g ( f ( x ) g ( x ) ) = d e g   f ( x ) + d e g   g ( x ) ( 6 ) deg(f(x)±g(x))≤max\{deg\,f(x),deg\,g(x)\}\qquad(5)\\deg(f(x)g(x))=deg\,f(x)+deg\,g(x)\qquad(6) deg(f(x)±g(x))≤max{degf(x),degg(x)}(5)deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x)(6)

推论1:设 f ( x ) , g ( x ) ∈ K [ x ] f(x),g(x)∈K[x] f(x),g(x)∈K[x],则
① f ( x ) ≠ 0 且 g ( x ) ≠ 0 ⇒ f ( x ) g ( x ) ≠ 0 ( 7 ) f(x)≠0且g(x)≠0⇒f(x)g(x)≠0\qquad(7) f(x)​=0且g(x)​=0⇒f(x)g(x)​=0(7)
\quad 从而 f ( x ) g ( x ) = 0 ⇒ f ( x ) = 0 或 g ( x ) = 0 f(x)g(x)=0⇒f(x)=0或g(x)=0 f(x)g(x)=0⇒f(x)=0或g(x)=0
② K [ x ] K[x] K[x]中2个非零多项式的乘积的首项系数等于这2个多项式的首项系数的乘积

推论2: K [ x ] K[x] K[x]中的乘法适合消去律,即 f ( x ) g ( x ) = f ( x ) h ( x ) 且 f ( x ) ≠ 0 ⇒ g ( x ) = h ( x ) f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)≠0⇒g(x)=h(x) f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)​=0⇒g(x)=h(x)

2.环的基本概念

(1)环的定义:

(2)常见的特殊类型的环:

注意:整环的概念中的"无零因子"是指没有非平凡的零因子,即整环是无零因子环

(3)环的同构:

命题2:若环 R R R到环 R ′ R' R′有1个同构映射 σ σ σ,且 R R R有单位元 e e e,则 σ ( e ) σ(e) σ(e)是 R ′ R' R′的单位元

3.子环
(1)定义:


(2)子环的判定

命题3:环 R R R的1个非空子集 R 1 R_1 R1​为1个子环的充要条件是: R 1 R_1 R1​对于 R R R的减法与乘法都封闭,即 a , b ∈ R 1 ⇒ a − b ∈ R 1 且 a b ∈ R 1 a,b∈R_1⇒a-b∈R_1且ab∈R_1 a,b∈R1​⇒a−b∈R1​且ab∈R1​

注意:子环中的单位元和原环中的单位元没有确定的关系,可能子环有单位元而圆环无,也可能反过来,还可能均有单位元但二者的单位元不同,也可能均无或均有且相同

(3)扩环:

说明:条件2°就是说数域 K K K(也是1个环) ≅ R 1 \cong R_1 ≅R1​

4.一元多项式环 K [ x ] K[x] K[x]的通用性质

定理1:设 K K K是1个数域, R R R是1个有单位元 1 ′ 1' 1′的交换环, R R R可看成是 K K K的1个扩环,其中 K K K到 R R R的子环 R 1 R_1 R1​(含有 1 ′ 1' 1′)的保持加法和乘法运算的双射(即同构映射)记作 σ σ σ;对 ∀ t ∈ R ∀t∈R ∀t∈R,令 σ t : K [ x ] → R f ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i → ∑ i = 0 n τ ( a i ) t i : = f ( t ) σ_t:K[x]→R\\f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^na_ix^i→\displaystyle\sum_{i=0}^nτ(a_i)t^i:=f(t) σt​:K[x]→Rf(x)=i=0∑n​ai​xi→i=0∑n​τ(ai​)ti:=f(t)则 σ t σ_t σt​是 K [ x ] K[x] K[x]到 R R R的1个映射,且 σ t ( x ) = t σ_t(x)=t σt​(x)=t,且 σ t σ_t σt​保持加法和乘法运算,即如果在 K [ x ] K[x] K[x]中有 f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) , f ( x ) g ( x ) = p ( x ) f(x)+g(x)=h(x),f(x)g(x)=p(x) f(x)+g(x)=h(x),f(x)g(x)=p(x)则在 R R R中有 f ( t ) + g ( t ) = h ( t ) , f ( t ) g ( t ) = h ( t ) f(t)+g(t)=h(t),f(t)g(t)=h(t) f(t)+g(t)=h(t),f(t)g(t)=h(t)映射 σ t σ_t σt​称为x用t代入



定理意义:

关于不定元:

注意:从该定理证明 f ( t ) g ( t ) = p ( t ) f(t)g(t)=p(t) f(t)g(t)=p(t)的过程中看到,只要 R R R的元素 t t t可与 R ′ R' R′的元素 τ ( a i )   ( a i ∈ K ) τ(a_i)\,(a_i∈K) τ(ai​)(ai​∈K)交换,就有此式成立,而不需要 R R R是交换环,即不需要 t 1 ∈ R t_1∈R t1​∈R和 t 2 ∈ R t_2∈R t2​∈R可交换;从而 R R R不必是交换环,只要 R R R的元素 t t t可与 R ′ R' R′的元素 τ ( a i )   ( a i ∈ K ) τ(a_i)\,(a_i∈K) τ(ai​)(ai​∈K)交换,不定元 x x x就可用 t t t带入

二.整除关系与带余除法(7.2)

1.整除关系
(1)整除的定义:

(2)整除的性质:

从整除的定义易推出:
① 0   ∣   f ( x ) ⇔ f ( x ) = 0 0\,|\,f(x)⇔f(x)=0 0∣f(x)⇔f(x)=0

②对 ∀ f ( x ) ∈ K [ x ] , f ( x )   ∣   0 ∀f(x)∈K[x],f(x)\,|\,0 ∀f(x)∈K[x],f(x)∣0

③对 ∀ b ∈ K ∗ , ∀ f ( x ) ∈ K [ x ] , b   ∣   f ( x ) ∀b∈K^*,∀f(x)∈K[x],b\,|\,f(x) ∀b∈K∗,∀f(x)∈K[x],b∣f(x)

注: K ∗ = K − { 0 } K^*=K-\{0\} K∗=K−{0}

整除是集合 K [ x ] K[x] K[x]上的1个二元关系,具有
①反身性:对 ∀ f ( x ) ∈ K [ x ] , f ( x )   ∣   f ( x ) ∀f(x)∈K[x],f(x)\,|\,f(x) ∀f(x)∈K[x],f(x)∣f(x)

②传递性:在 K [ x ] 中 , K[x]中, K[x]中,若 f ( x )   ∣   g ( x ) , g ( x )   ∣   h ( x ) f(x)\,|\,g(x),g(x)\,|\,h(x) f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则 f ( x )   ∣   h ( x ) f(x)\,|\,h(x) f(x)∣h(x)

注意:整除关系不具有对称性,即从 g ( x )   ∣   f ( x ) g(x)\,|\,f(x) g(x)∣f(x)不能推出 f ( x )   ∣   g ( x ) f(x)\,|\,g(x) f(x)∣g(x)

命题4:在 K [ x ] K[x] K[x]中,如果 g ( x )   ∣   f i ( x )   ( i = 1 , 2... s ) g(x)\,|\,f_i(x)\,(i=1,2...s) g(x)∣fi​(x)(i=1,2...s),那么对于 ∀ u 1 ( x ) . . . u s ( x ) ∈ K [ x ] ∀u_1(x)...u_s(x)∈K[x] ∀u1​(x)...us​(x)∈K[x],都有 g ( x )   ∣   [ u 1 ( x ) f 1 ( x ) + . . . + u s ( x ) f s ( x ) ] g(x)\,|\,[u_1(x)f_1(x)+...+u_s(x)f_s(x)] g(x)∣[u1​(x)f1​(x)+...+us​(x)fs​(x)]

命题5:在 K [ x ] K[x] K[x]中,若 g ( x )   ∣   f ( x ) g(x)\,|\,f(x) g(x)∣f(x)且 f ( x ) ≠ 0 f(x)≠0 f(x)​=0,则 d e g   g ( x ) ≤ d e g   f ( x ) deg\,g(x)≤deg\,f(x) degg(x)≤degf(x)

注意:若 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0,则该命题不成立

(3)相伴的定义:

(4)相伴的判定:

命题6:在 K [ x ] K[x] K[x]中, f ( x ) ∼ g ( x ) f(x)\sim g(x) f(x)∼g(x)当且仅当 ∃ c ∈ K ∗ ∃c∈K^* ∃c∈K∗,使得 f ( x ) = c ⋅ g ( x ) f(x)=c·g(x) f(x)=c⋅g(x)



注: K ∗ = K − { 0 } K^*=K-\{0\} K∗=K−{0}

2.带余除法

(1)带余除法:

定理2:设 f ( x ) , g ( x ) ∈ K [ x ] f(x),g(x)∈K[x] f(x),g(x)∈K[x]且 g ( x ) ≠ 0 g(x)≠0 g(x)​=0,则在 K [ x ] K[x] K[x]中 ∃ ∃ ∃唯一的1对多项式 h ( x ) , r ( x ) h(x),r(x) h(x),r(x),使得 f ( x ) = h ( x ) g ( x ) + r ( x )   ( d e f   r ( x ) < d e g   g ( x ) ) ( 3 ) f(x)=h(x)g(x)+r(x)\,(def\,r(x)<deg\,g(x))\qquad(3) f(x)=h(x)g(x)+r(x)(defr(x)<degg(x))(3)其中 f ( x ) f(x) f(x)称为被除式, g ( x ) g(x) g(x)称为除式, h ( x ) h(x) h(x)称为商式, r ( x ) r(x) r(x)称为余式,(3)式称为除法算式



该定理表明:数域 K K K上的一元多项式环 K [ x ] K[x] K[x]是具有除法算式的环,除法算式是 K [ x ] K[x] K[x]中有关加法和乘法的第1个重要等式

(2)整除的判定:

推论1:设 f ( x ) , g ( x ) ∈ K [ x ] f(x),g(x)∈K[x] f(x),g(x)∈K[x]且 g ( x ) ≠ 0 g(x)≠0 g(x)​=0,则 g ( x )   ∣   f ( x ) g(x)\,|\,f(x) g(x)∣f(x)当且仅当 g ( x ) g(x) g(x)除 f ( x ) f(x) f(x)的余式为0

命题7:设 f ( x ) , g ( x ) ∈ K [ x ] f(x),g(x)∈K[x] f(x),g(x)∈K[x],数域 F ⊇ K F\supe K F⊇K,则 在 K [ x ] 中 , g ( x )   ∣   f ( x ) ⇔ 在 F ( x ) 中 , g ( x )   ∣   f ( x ) 在K[x]中,g(x)\,|\,f(x)⇔在F(x)中,g(x)\,|\,f(x) 在K[x]中,g(x)∣f(x)⇔在F(x)中,g(x)∣f(x)

该命题表明:整除性不随数域的扩大而改变(既不会因为数域扩大而变得可以整除,也不会因此而变得不能整除)
根本原因在于数域对四则运算封闭

注意:但如果数域缩小,可能变得不能整除,即仅有:
设 f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] f(x),g(x)∈F[x] f(x),g(x)∈F[x],数域 F ⊇ K F\supe K F⊇K,则 在 K [ x ] 中 , g ( x )   ∣   f ( x ) ⇒ 在 F ( x ) 中 , g ( x )   ∣   f ( x ) 在K[x]中,g(x)\,|\,f(x)⇒在F(x)中,g(x)\,|\,f(x) 在K[x]中,g(x)∣f(x)⇒在F(x)中,g(x)∣f(x)而没有"⇐",因为 f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) , r ( x ) f(x),g(x),h(x),r(x) f(x),g(x),h(x),r(x)均不一定属于 K [ x ] K[x] K[x]

(3)综合除法:


3.整数环中的带余除法:

定理3:对 ∀ a , b ∈ Z   ( b ≠ 0 ) ∀a,b∈Z\,(b≠0) ∀a,b∈Z(b​=0), ∃ ∃ ∃唯一1对 q , r ∈ Z q,r∈Z q,r∈Z,使得 a = q b + r   ( 0 ≤ r < ∣ b ∣ ) ( 17 ) a=qb+r\,(0≤r<|b|)\qquad(17) a=qb+r(0≤r<∣b∣)(17)

4. λ − λ- λ−矩阵的相抵标准型(带余除法的应用之一)
(1)整环上的矩阵:

(2)相抵:

(3)相抵标准形:

定理4:任意1个非零的 n n n级 λ − λ- λ−矩阵 A ( λ ) A(λ) A(λ)一定相抵于对角 λ − λ- λ−矩阵 d i a g { d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) . . . d n ( λ ) } ( 18 ) diag\{d_1(λ),d_2(λ)...d_n(λ)\}\qquad(18) diag{d1​(λ),d2​(λ)...dn​(λ)}(18)其中 d i ( λ )   ∣   d i + 1 ( λ )   ( i = 1 , 2... n − 1 ) d_i(λ)\,|\,d_{i+1}(λ)\,(i=1,2...n-1) di​(λ)∣di+1​(λ)(i=1,2...n−1),并且对于非零的 d i ( λ ) d_i(λ) di​(λ),其首项系数为1.满足这些要求的对角 λ − λ- λ−矩阵 ( 18 ) (18) (18)称为 A ( λ ) A(λ) A(λ)的1个相抵标准形或Smith标准形

定理5:整数环 Z Z Z上任意1个非零的 n n n级 A A A一定相抵于 Z Z Z上的对角矩阵 d i a g { d 1 , d 2 . . . d n } ( 22 ) diag\{d_1,d_2...d_n\}\qquad(22) diag{d1​,d2​...dn​}(22)其中 d j ∈ N   ( j = 1 , 2... n ) d_j∈N\,(j=1,2...n) dj​∈N(j=1,2...n),并且 d i   ∣   d i + 1   ( i = 1 , 2... n − 1 ) d_i\,|\,d_{i+1}\,(i=1,2...n-1) di​∣di+1​(i=1,2...n−1).满足这些要求的对角矩阵 ( 22 ) (22) (22)称为 A A A的1个相抵标准形或Smith标准形