斐波那契数列（递归改进）

题目：求斐波那契数列的第n项

写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

大多数人看到后第一时间都会写出如下代码:

递归：方法直观但时间效率低

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
  if(n<=0)
    return 0;
  if(n==1)
    return 1;

  return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}

 即使很多教科书在讲解递归时都会利用该问题，但并不说明递归的解法最适合这道题目，对于这道题递归存在严重的效率问题。

我们以求解f(10)为例来分析递归求解的过程，用树形结构表示如下图所示：

我们可以发现，在这棵树中有很多节点是重复的，且随着n的增大重复的节点数急剧增加，同时计算量也急剧增大，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。

改进：

尽量避免重复计算，可以将已经得到的数列中间项保存起来，在下次需要计算的时候先查找一下，如果已经计算过了后面就不再重复计算。

最简单的方法即从下往上计算，用f(0)和f(1)计算f(2)，以此类推就可以得到第n项，这种思路的时间复杂度为O(n)。

循环：时间效率提高

long long Fibonacci(unsigned n)
{
  if(n<2)
    return n;

  long long fib1=1;
  long long fib2=0;
  long long fibn=0;
  for(unsigned int i=2;i<=n;i++)
  {
    fibn=fib1+fib2;
    fib2=fib1;
    fib1=fibn;
  }
return fibn;
}

扩展方法：

还存在更快的O(logn)算法，需要用到如下的数学公式：

我们只需要求后面的矩阵就可以得到f(n)，现在问题转换为求矩阵的乘方。如果只是简单地从0开始循环，n次方需要n次运算，则其时间复杂度仍然是O(n)，并不比前面快。但我们可以考虑乘方的如下性质：

从上面的公式中我们可以看出，若想求得n次方，就要先求得n/2次方，再把n/2次方的结果平方一下即可。可以用递归的思路实现。 

基于矩阵乘法：创意算法，但隐含时间常数较大

#include <cassert>

struct Matrix2By2
{
    Matrix2By2
    (
        long long m00 = 0, 
        long long m01 = 0, 
        long long m10 = 0, 
        long long m11 = 0
    )
    :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) 
    {
    }

    long long m_00;
    long long m_01;
    long long m_10;
    long long m_11;
};

Matrix2By2 MatrixMultiply
(
    const Matrix2By2& matrix1, 
    const Matrix2By2& matrix2
)
{
    return Matrix2By2(
        matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
    assert(n > 0);

    Matrix2By2 matrix;
    if(n == 1)
    {
        matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
    }
    else if(n % 2 == 0)
    {
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    else if(n % 2 == 1)
    {
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
    }

    return matrix;
}

long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
    int result[2] = {0, 1};
    if(n < 2)
        return result[n];

    Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
    return PowerNMinus2.m_00;
}