误差和误差限
在数值计算中使用的数通常有两种类型：一种是能够准确反映客观事物数量关系的精确数，如班级有30人，有
1
2
\frac{1}{2}
21为男生；另一种是近似反映客观事物数量关系的近似数，如书重0.15kg。如果改变观测方法、提高测量精度，这些数据会更准确些，但仍然会和实际值之间存在着一定差异，这种差异就是误差。因此，如何控制计算误差、提高计算精度是重要问题
- 绝对误差和绝对误差限
设数
x
∗
x^*
x∗为精确数（精确值或真值），数x为其近似数（近似值），则
e
(
x
)
=
x
∗
−
x
e(x)=x^*-x
e(x)=x∗−x
称为近似值x的绝对误差。一般情况下，人们无法准确地知道精确值
x
∗
x^*
x∗的大小，但根据具体的测量和计算情况，如果总有
∣
e
(
x
)
∣
=
∣
x
∗
−
x
∣
≤
ϵ
|e(x)|=|x^*-x|\leq \epsilon
∣e(x)∣=∣x∗−x∣≤ϵ
成立，则称
ϵ
\epsilon
ϵ为近似值
x
x
x的绝对误差限。显然有
x
−
ϵ
≤
x
∗
≤
x
+
ϵ
x-\epsilon\leq x^*\leq x+\epsilon
x−ϵ≤x∗≤x+ϵ
这表明精确数介于某两个数之间。因此在工程上，精确值
x
∗
x^*
x∗常常可表示成另一种形式：
x
∗
=
x
±
ϵ
x^*=x\pm \epsilon
x∗=x±ϵ
绝对误差不足以刻画近似数的精确程度，除了绝对误差以外，还必须考虑此数本身的大小，即有相对误差的概念。
- 相对误差与相对误差限
定义近似数x的相对误差为：
e
r
(
x
)
=
(
x
∗
−
x
)
/
x
∗
e_r(x)=(x^*-x)/x^*
er(x)=(x∗−x)/x∗
由于精确数
x
∗
x^*
x∗在一般情形下无法得知，而
x
≈
x
∗
x\approx x^*
x≈x∗，故相对误差常用下列定义：
e
r
(
x
)
=
(
x
∗
−
x
)
/
x
e_r(x)=(x^*-x)/x
er(x)=(x∗−x)/x
相应地，相对误差限
ϵ
r
\epsilon_r
ϵr定义为：
∣
e
r
(
x
)
∣
=
∣
x
∗
−
x
x
∣
≤
ϵ
|e_r(x)|=|\frac{x^*-x}{x}|\leq \epsilon
∣er(x)∣=∣xx∗−x∣≤ϵ
