关于因果关系的识别，前面介绍了一些方法：随机对照试验、后门调整、前门调整、do-演算。今天介绍另一种进行因果效应识别的另一种方法：工具变量。
上面的因果图中，
Z
Z
Z就是一个工具变量，可以利用它在
U
U
U观测不到的情况下计算
T
T
T对
Y
Y
Y的因果效应。
工具变量的标准：
一个变量满足上述工具变量标准，才能成为一个工具变量，才能利用其进行因果关系的识别。
与第五章介绍的ATE识别的方法相比，工具变量无法对ATE进行无参识别。当使用后门调整、前门调整和do-演算识别ATE时，我们无需对参数形式或者说结构变量做任何假设，但工具变量对ATE的识别必须建立在对参数形式（例如，线性）的假设之上。
因果效应可以被无参识别的必要条件是： T T T到其后代也是 Y Y Y的祖先的节点 M M M的后门路径是可以被阻断的（见第五章最后）。在上面的因果图中， Y Y Y是 T T T的子代，并将其看成自己的祖先， T T T到 Y Y Y的后门路径 T → U → Y T→U→Y T→U→Y由于 U U U观测不到而无法被阻断，因此 T T T对 Y Y Y的因果效应不能被无参识别。
首先介绍最简单的情况：二元线性设置下用工具变量识别ATE。
假设：
Y
:
=
δ
T
+
α
u
U
Y:=\delta T+\alpha{_u}U
Y:=δT+αuU，假设
T
T
T和
Z
Z
Z都是二元变量。
根据假设， T T T对 Y Y Y的因果效应为 δ \delta δ，我们需要根据 Z Z Z估计 δ \delta δ的值。
E [ Y ∣ Z = 1 ] − E [ Y ∣ Z = 0 ] = E [ δ T + α u U ∣ Z = 1 ] − E [ δ T + α u U ∣ Z = 0 ] = δ ( E [ T ∣ Z = 1 ] − E [ T ∣ Z = 0 ] ) + α u ( E [ U ∣ Z = 1 ] − E [ U ∣ Z = 0 ] ) = δ ( E [ T ∣ Z = 1 ] − E [ T ∣ Z = 0 ] ) \mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]\\ \quad=\mathbb{E}\left[\delta T+\alpha_{u} U \mid Z=1\right]-\mathbb{E}\left[\delta T+\alpha_{u} U \mid Z=0\right]\\ \quad=\delta (\mathbb{E}[T|Z=1]-\mathbb{E}[T|Z=0])+\alpha_{u}(\mathbb{E}[U|Z=1]-\mathbb{E}[U|Z=0])\\ \quad=\delta (\mathbb{E}[T|Z=1]-\mathbb{E}[T|Z=0]) E[Y∣Z=1]−E[Y∣Z=0]=E[δT+αuU∣Z=1]−E[δT+αuU∣Z=0]=δ(E[T∣Z=1]−E[T∣Z=0])+αu(E[U∣Z=1]−E[U∣Z=0])=δ(E[T∣Z=1]−E[T∣Z=0])
在计算过程中把 E [ T ∣ Z = 0 ] ) + α u ( E [ U ∣ Z = 1 ] − E [ U ∣ Z = 0 ] ) \mathbb{E}[T|Z=0])+\alpha_{u}(\mathbb{E}[U|Z=1]-\mathbb{E}[U|Z=0]) E[T∣Z=0])+αu(E[U∣Z=1]−E[U∣Z=0])直接删掉是因为根据工具变量标准的第三条， Z Z Z与 U U U是相互独立的。于是，
δ = E [ Y ∣ Z = 1 ] − E [ Y ∣ Z = 0 ] E [ T ∣ Z = 1 ] − E [ T ∣ Z = 0 ] \delta=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{\mathbb{E}[T \mid Z=1]-\mathbb{E}[T \mid Z=0]} δ=E[T∣Z=1]−E[T∣Z=0]E[Y∣Z=1]−E[Y∣Z=0]注意，根据工具变量标准的第一条，上式中的分母不为零。
然后，我们插入经验平均值来代替这些条件期望值，得到Wald估计量：
δ
^
=
1
n
1
∑
i
:
z
i
=
1
Y
i
−
1
n
0
∑
i
:
z
i
=
0
Y
i
1
n
1
∑
i
:
z
i
=
1
T
i
−
1
n
0
∑
i
:
z
i
=
0
T
i
\hat{\delta}=\frac{\frac{1}{n_{1}} \sum_{i: z_{i}=1} Y_{i}-\frac{1}{n_{0}} \sum_{i: z_{i}=0} Y_{i}}{\frac{1}{n_{1}} \sum_{i: z_{i}=1} T_{i}-\frac{1}{n_{0}} \sum_{i: z_{i}=0} T_{i}}
δ^=n11∑i:zi=1Ti−n01∑i:zi=0Tin11∑i:zi=1Yi−n01∑i:zi=0Yi其中，
n
1
n_1
n1是
z
=
1
z=1
z=1的样本数，
n
2
n_2
n2是
z
=
0
z=0
z=0的样本数。
同样假设
Y
:
=
δ
T
+
α
u
U
Y:=\delta T+\alpha{_u}U
Y:=δT+αuU，当
T
T
T和
Z
Z
Z都是连续的的时候，
δ
=
Cov
(
Y
,
Z
)
Cov
(
T
,
Z
)
\delta=\frac{\operatorname{Cov}(Y, Z)}{\operatorname{Cov}(T, Z)}
δ=Cov(T,Z)Cov(Y,Z)证明：
Cov ( Y , Z ) = E [ Y Z ] − E [ Y ] E [ Z ] = E [ ( δ T + α u U ) Z ] − E [ δ T + α u U ] E [ Z ] = δ E [ T Z ] + α u E [ U Z ] − δ E [ T ] E [ Z ] − α u E [ U ] E [ Z ] = δ ( E [ T Z ] − E [ T ] E [ Z ] ) + α u ( E [ U Z ] − E [ U ] E [ Z ] ) = δ Cov ( T , Z ) + α u Cov ( U , Z ) = δ Cov ( T , Z ) \begin{aligned} \operatorname{Cov}(Y, Z) &=\mathbb{E}[Y Z]-\mathbb{E}[Y] \mathbb{E}[Z] \\ &=\mathbb{E}\left[\left(\delta T+\alpha_{u} U\right) Z\right]-\mathbb{E}\left[\delta T+\alpha_{u} U\right] \mathbb{E}[Z] \\ &=\delta \mathbb{E}[T Z]+\alpha_{u} \mathbb{E}[U Z]-\delta \mathbb{E}[T] \mathbb{E}[Z]-\alpha_{u} \mathbb{E}[U] \mathbb{E}[Z] \\ &=\delta(\mathbb{E}[T Z]-\mathbb{E}[T] \mathbb{E}[Z])+\alpha_{u}(\mathbb{E}[U Z]-\mathbb{E}[U] \mathbb{E}[Z]) \\ &=\delta \operatorname{Cov}(T, Z)+\alpha_{u} \operatorname{Cov}(U, Z) \\ &=\delta \operatorname{Cov}(T, Z) \end{aligned} Cov(Y,Z)=E[YZ]−E[Y]E[Z]=E[(δT+αuU)Z]−E[δT+αuU]E[Z]=δE[TZ]+αuE[UZ]−δE[T]E[Z]−αuE[U]E[Z]=δ(E[TZ]−E[T]E[Z])+αu(E[UZ]−E[U]E[Z])=δCov(T,Z)+αuCov(U,Z)=δCov(T,Z)
根据Principal Strata，将数据分为四层：
Local ATE（LATE, Complier Average Causal Effect (CACE)）的定义：
E
[
Y
(
T
=
1
)
−
Y
(
T
=
0
)
∣
T
(
Z
=
1
)
=
1
,
T
(
Z
=
0
)
=
0
]
\mathbb{E}[Y(T=1)-Y(T=0) \mid T(Z=1)=1, T(Z=0)=0]
E[Y(T=1)−Y(T=0)∣T(Z=1)=1,T(Z=0)=0]
Monotonicity假设： ∀ i , T i ( Z = 1 ) ≥ T i ( Z = 0 ) \forall i, \quad T_{i}(Z=1) \geq T_{i}(Z=0) ∀i,Ti(Z=1)≥Ti(Z=0)，这个假设的意思就是没有defier。
基于上面的假设，我们可以得到局部ATE：
E
[
Y
(
1
)
−
Y
(
0
)
∣
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
]
=
E
[
Y
∣
Z
=
1
]
−
E
[
Y
∣
Z
=
0
]
E
[
T
∣
Z
=
1
]
−
E
[
T
∣
Z
=
0
]
\mathbb{E}[Y(1)-Y(0) \mid T(1)=1, T(0)=0]=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{\mathbb{E}[T \mid Z=1]-\mathbb{E}[T \mid Z=0]}
E[Y(1)−Y(0)∣T(1)=1,T(0)=0]=E[T∣Z=1]−E[T∣Z=0]E[Y∣Z=1]−E[Y∣Z=0]
证明：
按照Principal Strata将数据分为四层，
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
]
=
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
∣
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
]
P
(
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
)
+
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
∣
T
(
1
)
=
0
,
T
(
0
)
=
1
]
P
(
T
(
1
)
=
0
,
T
(
0
)
=
1
)
+
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
∣
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
1
]
P
(
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
1
)
+
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
∣
T
(
1
)
=
0
,
T
(
0
)
=
0
]
P
(
T
(
1
)
=
0
,
T
(
0
)
=
0
)
\begin{array}{l} \mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0)] \\ \quad \begin{array}{l}= \mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=0] P(T(1)=1, T(0)=0) \\ +\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=0, T(0)=1] P(T(1)=0, T(0)=1) \\ +\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=1] P(T(1)=1, T(0)=1) \\ +\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=0, T(0)=0] P(T(1)=0, T(0)=0) \end{array} \end{array}
E[Y(Z=1)−Y(Z=0)]=E[Y(Z=1)−Y(Z=0)∣T(1)=1,T(0)=0]P(T(1)=1,T(0)=0)+E[Y(Z=1)−Y(Z=0)∣T(1)=0,T(0)=1]P(T(1)=0,T(0)=1)+E[Y(Z=1)−Y(Z=0)∣T(1)=1,T(0)=1]P(T(1)=1,T(0)=1)+E[Y(Z=1)−Y(Z=0)∣T(1)=0,T(0)=0]P(T(1)=0,T(0)=0)对于always-takers和never-takers，
Z
Z
Z和
T
T
T是独立的，因此
Z
Z
Z对
Y
Y
Y也没有因果效应，因此消去它们。
=
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
∣
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
]
P
(
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
)
+
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
∣
T
(
1
)
=
0
,
T
(
0
)
=
1
]
P
(
T
(
1
)
=
0
,
T
(
0
)
=
1
)
\begin{aligned} \quad=& \mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=0] P(T(1)=1, T(0)=0) \\ &+\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=0, T(0)=1] P(T(1)=0, T(0)=1) \end{aligned}
=E[Y(Z=1)−Y(Z=0)∣T(1)=1,T(0)=0]P(T(1)=1,T(0)=0)+E[Y(Z=1)−Y(Z=0)∣T(1)=0,T(0)=1]P(T(1)=0,T(0)=1)根据假设，没有defiers，因此，消去它们。
=
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
∣
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
]
P
(
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
)
\begin{aligned} \quad=& \mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=0] P(T(1)=1, T(0)=0) \end{aligned}
=E[Y(Z=1)−Y(Z=0)∣T(1)=1,T(0)=0]P(T(1)=1,T(0)=0)
现在，我们可以得到，对于compliers，
Z
Z
Z对
Y
Y
Y的因果效应为：
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
∣
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
]
=
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
]
P
(
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
)
\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=0]=\frac{\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0)]}{P(T(1)=1, T(0)=0)}
E[Y(Z=1)−Y(Z=0)∣T(1)=1,T(0)=0]=P(T(1)=1,T(0)=0)E[Y(Z=1)−Y(Z=0)]因为是compliers，所以
Y
(
Z
=
1
)
=
Y
(
T
=
1
)
Y(Z=1)=Y(T=1)
Y(Z=1)=Y(T=1)且
Y
(
Z
=
1
)
=
Y
(
T
=
1
)
Y(Z=1)=Y(T=1)
Y(Z=1)=Y(T=1)，因此，
E
[
Y
(
T
=
1
)
−
Y
(
T
=
0
)
∣
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
]
=
E
[
Y
(
Z
=
1
)
−
Y
(
Z
=
0
)
]
P
(
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
)
=
E
[
Y
∣
Z
=
1
]
−
E
[
Y
∣
Z
=
0
]
P
(
T
(
1
)
=
1
,
T
(
0
)
=
0
)
\mathbb{E}[Y(T=1)-Y(T=0) \mid T(1)=1, T(0)=0]\\=\frac{\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0)]}{P(T(1)=1, T(0)=0)}\\ =\frac{\mathbb{E}[Y|Z=1]-\mathbb{E}[Y|Z=0]}{P(T(1)=1, T(0)=0)}
E[Y(T=1)−Y(T=0)∣T(1)=1,T(0)=0]=P(T(1)=1,T(0)=0)E[Y(Z=1)−Y(Z=0)]=P(T(1)=1,T(0)=0)E[Y∣Z=1]−E[Y∣Z=0]因为没有compliers，可以用总概率减去always-takes和never-takers得到compliers的概率。于是，
=
E
[
Y
∣
Z
=
1
]
−
E
[
Y
∣
Z
=
0
]
1
−
P
(
T
=
0
∣
Z
=
1
)
−
P
(
T
=
1
∣
Z
=
0
)
=
E
[
Y
∣
Z
=
1
]
−
E
[
Y
∣
Z
=
0
]
1
−
(
1
−
P
(
T
=
1
∣
Z
=
1
)
)
−
P
(
T
=
1
∣
Z
=
0
)
=
E
[
Y
∣
Z
=
1
]
−
E
[
Y
∣
Z
=
0
]
P
(
T
=
1
∣
Z
=
1
)
−
P
(
T
=
1
∣
Z
=
0
)
=
E
[
Y
∣
Z
=
1
]
−
E
[
Y
∣
Z
=
0
]
E
[
T
∣
Z
=
1
]
−
E
[
T
∣
Z
=
0
]
=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{1-P(T=0 \mid Z=1)-P(T=1 \mid Z=0)}\\=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{1-(1-P(T=1 \mid Z=1))-P(T=1 \mid Z=0)}\\=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{P(T=1 \mid Z=1)-P(T=1 \mid Z=0)}\\=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{\mathbb{E}[T \mid Z=1]-\mathbb{E}[T \mid Z=0]}
=1−P(T=0∣Z=1)−P(T=1∣Z=0)E[Y∣Z=1]−E[Y∣Z=0]=1−(1−P(T=1∣Z=1))−P(T=1∣Z=0)E[Y∣Z=1]−E[Y∣Z=0]=P(T=1∣Z=1)−P(T=1∣Z=0)E[Y∣Z=1]−E[Y∣Z=0]=E[T∣Z=1]−E[T∣Z=0]E[Y∣Z=1]−E[Y∣Z=0]
上面计算局部ATE的方法仅局限于：
