简单博弈论（Nim游戏）

891. Nim游戏

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给定 n

堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 n

。

第二行包含 n

个数字，其中第 i 个数字表示第 i

堆石子的数量。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

1≤n≤105

,
1≤每堆石子数≤109

输入样例：

2
2 3

输出样例：

Yes

 * 假定石堆的数量是：S1,S2,...,Si,Sj,...,Sn;
 * 1)如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么必然存在先手必败；
 * 证明：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么在Si中取出一个数 x(>0) 后，
 * 必然满足 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn != 0 ；
 *      用反证法证明：假设存在 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn == 0，
 *      因为 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ，所以  S1^S2^...^Sj^...^Sn == Si；
 *      所以S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn == 0 => Si^(Si-x)==0 => Si=Si-x => x=0(与条
 *      件矛盾)，不成立；
 *      即：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么在Si中取出一个数 x(>0) 后，
 *      必然满足 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn != 0 ；得证。
 *
 * 2)如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn != 0 ,那么必然存在先手必胜；
 * 证明：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn !=0 ==m,假设m用二进制表示的1的最高位是第k位，
 * 那么至少存在一个数字Si，使得Si用二进制表示的数的第k位是1，取出一个数 Si-(Si^m)
 * 能使得 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;
 *  证明：取出一个数 Si-(Si^m)，那么 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;
 *  所以：S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0
 *  =>  S1^S2^...^(Si^m)^Sj^...^Sn == 0
 *  =>  将m提在后面： S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn^m == 0
 *  因为 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == m, m^m ==0
 *  所以得到 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn^m = m^m = 0;
 *   现在来证明 Si-(Si^m) > 0;
 *    证明：因为m的最高位1是在第k位，而Si的第k位一定存在1，所以Si^m之后,第k位的结果
 *          一定是0；
 *          所以在最极端的情况下， Si 与 Si^m 的比较：
 *                          Si      Si^m
 *      第k位               1       0
 *      第k位前面的位置     1/0     与Si相同
 *      第k位后面的位置     1/0     不确定（但即便是 Si 取全0，Si^m取全1，两个数相
 *                                          减也一定满足大于0）；
 *    得证！
 *  得证！

/**
 * 假定石堆的数量是：S1,S2,...,Si,Sj,...,Sn;
 * 1)如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么必然存在先手必败；
 * 证明：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么在Si中取出一个数 x(>0) 后，
 * 必然满足 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn != 0 ；
 *      用反证法证明：假设存在 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn == 0，
 *      因为 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ，所以  S1^S2^...^Sj^...^Sn == Si；
 *      所以S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn == 0 => Si^(Si-x)==0 => Si=Si-x => x=0(与条
 *      件矛盾)，不成立；
 *      即：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么在Si中取出一个数 x(>0) 后，
 *      必然满足 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn != 0 ；得证。
 * 
 * 2)如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn != 0 ,那么必然存在先手必胜；
 * 证明：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn !=0 ==m,假设m用二进制表示的1的最高位是第k位，
 * 那么至少存在一个数字Si，使得Si用二进制表示的数的第k位是1，取出一个数 Si-(Si^m)
 * 能使得 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;
 *  证明：取出一个数 Si-(Si^m)，那么 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;
 *  所以：S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0
 *  =>  S1^S2^...^(Si^m)^Sj^...^Sn == 0 
 *  =>  将m提在后面： S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn^m == 0 
 *  因为 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == m, m^m ==0
 *  所以得到 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn^m = m^m = 0;
 *   现在来证明 Si-(Si^m) > 0;
 *    证明：因为m的最高位1是在第k位，而Si的第k位一定存在1，所以Si^m之后,第k位的结果
 *          一定是0；
 *          所以在最极端的情况下， Si 与 Si^m 的比较：
 *                          Si      Si^m
 *      第k位               1       0
 *      第k位前面的位置     1/0     与Si相同
 *      第k位后面的位置     1/0     不确定（但即便是 Si 取全0，Si^m取全1，两个数相
 *                                          减也一定满足大于0）；
 *    得证！
 *  得证！
*/

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int res=0;
    
    while (n -- )
    {
        int val;
        cin >> val;
        res^=val;
    }
    
    if(res)
        puts("Yes");
    else
        puts("No");
        
    return 0;
}

893. 集合-Nim游戏

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给定 n

堆石子以及一个由 k 个不同正整数构成的数字集合 S

。

现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 S

，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 k

，表示数字集合 S

中数字的个数。

第二行包含 k

个整数，其中第 i 个整数表示数字集合 S 中的第 i 个数 si

。

第三行包含整数 n

。

第四行包含 n

个整数，其中第 i 个整数表示第 i 堆石子的数量 hi

。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

1≤n,k≤100

,
1≤si,hi≤10000

输入样例：

2
2 5
3
2 4 7

输出样例：

Yes

/**
1.Mex运算:

设S表示一个非负整数集合.定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数运算,即:
mes(S)=min{x};
例如:S={0,1,2,4},那么mes(S)=3;

2.SG函数

在有向图游戏中,对于每个节点x,设从x出发共有k条有向边,分别到达节点y1,y2,····yk,
定义SG(x)的后记节点y1,y2,····yk的SG函数值构成的集合在执行mex运算的结果,即:
SG(x)=mex({SG(y1),SG(y2)····SG(yk)})
特别地,整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值,即 SG(G)=SG(s).

3.有向图游戏的和

设G1，G2,····,Gm是m个有向图游戏.定义有向图游戏G,他的行动规则是任选某个有向图游戏Gi,并在Gi上行动一步.G被称为有向图游戏G1,G2,·····,Gm的和.
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数的异或和,即:
SG(G)=SG(G1)xorSG(G2)xor···xor SG(Gm)

以上定义是转载了一个dl的：
作者：E.lena
链接：https://www.acwing.com/solution/content/23435/
来源：AcWing

只要得到所有石堆的SG值，那么就和 Nim 游戏操作一样，将每堆石子的SG值当作 Nim游戏的
每堆石堆的数量，那么每次都可以取连接该集合的任一个方向，单是要得到最优策略，还是要
根据所有石堆的异或和来选择特定石堆的数量；

给出Nim游戏的证明后再探讨Nim集合的正确性：

 * 假定石堆的数量是：S1,S2,...,Si,Sj,...,Sn;
 * 1)如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么必然存在先手必败；
 * 证明：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么在Si中取出一个数 x(>0) 后，
 * 必然满足 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn != 0 ；
 *      用反证法证明：假设存在 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn == 0，
 *      因为 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ，所以  S1^S2^...^Sj^...^Sn == Si；
 *      所以S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn == 0 => Si^(Si-x)==0 => Si=Si-x => x=0(与条
 *      件矛盾)，不成立；
 *      即：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么在Si中取出一个数 x(>0) 后，
 *      必然满足 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn != 0 ；得证。
 *
 * 2)如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn != 0 ,那么必然存在先手必胜；
 * 证明：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn !=0 ==m,假设m用二进制表示的1的最高位是第k位，
 * 那么至少存在一个数字Si，使得Si用二进制表示的数的第k位是1，取出一个数 Si-(Si^m)
 * 能使得 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;
 *  证明：取出一个数 Si-(Si^m)，那么 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;
 *  所以：S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0
 *  =>  S1^S2^...^(Si^m)^Sj^...^Sn == 0
 *  =>  将m提在后面： S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn^m == 0
 *  因为 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == m, m^m ==0
 *  所以得到 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn^m = m^m = 0;
 *   现在来证明 Si-(Si^m) > 0;
 *    证明：因为m的最高位1是在第k位，而Si的第k位一定存在1，所以Si^m之后,第k位的结果
 *          一定是0；
 *          所以在最极端的情况下， Si 与 Si^m 的比较：
 *                          Si      Si^m
 *      第k位               1       0
 *      第k位前面的位置     1/0     与Si相同
 *      第k位后面的位置     1/0     不确定（但即便是 Si 取全0，Si^m取全1，两个数相
 *                                          减也一定满足大于0）；
 *    得证！
 *  得证！

因为我们在Nim游戏的证明中证明出了：
如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn !=0 ==m,假设m用二进制表示的1的最高位是第k位，
那么至少存在一个数字Si，使得Si用二进制表示的数的第k位是1，取出一个数 Si-(Si^m)
能使得 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;且Si-(Si^m) > 0，所以在Nim集合中，
我们能得出，SG1^SG2^...^SGi^...^SGn !=0 ==m 的时候，我们可以选择第i个集合里选择第
SGi-(SGi^m) 条路线，（此路线一定存在，因为SGi-(SGi^m)<SGi,而[0,SGi)的路线都存在，
所以必定存在 SGi-(SGi^m) 属于 [0,SGi);

SG1^SG2^...^SGi^...^SGn == 0，就不消证明，先手必输；
*/

/**
1.Mex运算:

设S表示一个非负整数集合.定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数运算,即:
mes(S)=min{x};
例如:S={0,1,2,4},那么mes(S)=3;

2.SG函数

在有向图游戏中,对于每个节点x,设从x出发共有k条有向边,分别到达节点y1,y2,····yk,
定义SG(x)的后记节点y1,y2,····yk的SG函数值构成的集合在执行mex运算的结果,即:
SG(x)=mex({SG(y1),SG(y2)····SG(yk)})
特别地,整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值,即 SG(G)=SG(s).

3.有向图游戏的和

设G1，G2,····,Gm是m个有向图游戏.定义有向图游戏G,他的行动规则是任选某个有向图游戏Gi,并在Gi上行动一步.G被称为有向图游戏G1,G2,·····,Gm的和.
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数的异或和,即:
SG(G)=SG(G1)xorSG(G2)xor···xor SG(Gm)

以上定义是转载了一个dl的：
作者：E.lena
链接：https://www.acwing.com/solution/content/23435/
来源：AcWing

只要得到所有石堆的SG值，那么就和 Nim 游戏操作一样，将每堆石子的SG值当作 Nim游戏的
每堆石堆的数量，那么每次都可以取连接该集合的任一个方向，单是要得到最优策略，还是要
根据所有石堆的异或和来选择特定石堆的数量；

给出Nim游戏的证明后再探讨Nim集合的正确性：

 * 假定石堆的数量是：S1,S2,...,Si,Sj,...,Sn;
 * 1)如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么必然存在先手必败；
 * 证明：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么在Si中取出一个数 x(>0) 后，
 * 必然满足 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn != 0 ；
 *      用反证法证明：假设存在 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn == 0，
 *      因为 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ，所以  S1^S2^...^Sj^...^Sn == Si；
 *      所以S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn == 0 => Si^(Si-x)==0 => Si=Si-x => x=0(与条
 *      件矛盾)，不成立；
 *      即：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == 0 ,那么在Si中取出一个数 x(>0) 后，
 *      必然满足 S1^S2^...^(Si-x)^Sj^...^Sn != 0 ；得证。
 * 
 * 2)如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn != 0 ,那么必然存在先手必胜；
 * 证明：如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn !=0 ==m,假设m用二进制表示的1的最高位是第k位，
 * 那么至少存在一个数字Si，使得Si用二进制表示的数的第k位是1，取出一个数 Si-(Si^m)
 * 能使得 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;
 *  证明：取出一个数 Si-(Si^m)，那么 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;
 *  所以：S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0
 *  =>  S1^S2^...^(Si^m)^Sj^...^Sn == 0 
 *  =>  将m提在后面： S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn^m == 0 
 *  因为 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn == m, m^m ==0
 *  所以得到 S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn^m = m^m = 0;
 *   现在来证明 Si-(Si^m) > 0;
 *    证明：因为m的最高位1是在第k位，而Si的第k位一定存在1，所以Si^m之后,第k位的结果
 *          一定是0；
 *          所以在最极端的情况下， Si 与 Si^m 的比较：
 *                          Si      Si^m
 *      第k位               1       0
 *      第k位前面的位置     1/0     与Si相同
 *      第k位后面的位置     1/0     不确定（但即便是 Si 取全0，Si^m取全1，两个数相
 *                                          减也一定满足大于0）；
 *    得证！
 *  得证！

因为我们在Nim游戏的证明中证明出了：
如果S1^S2^...^Si^Sj^...^Sn !=0 ==m,假设m用二进制表示的1的最高位是第k位，
那么至少存在一个数字Si，使得Si用二进制表示的数的第k位是1，取出一个数 Si-(Si^m)
能使得 S1^S2^...^(Si-(Si-(Si^m))^Sj^...^Sn == 0;且Si-(Si^m) > 0，所以在Nim集合中，
我们能得出，SG1^SG2^...^SGi^...^SGn !=0 ==m 的时候，我们可以选择第i个集合里选择第
SGi-(SGi^m) 条路线，（此路线一定存在，因为SGi-(SGi^m)<SGi,而[0,SGi)的路线都存在，
所以必定存在 SGi-(SGi^m) 属于 [0,SGi);

SG1^SG2^...^SGi^...^SGn == 0，就不消证明，先手必输；
*/


#include <iostream>
#include <set>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn = 10010;
int hs[maxn],f[maxn];
int m;

int SG(int val)
{
    if(hs[val]!=-1) //如果val块石子的石堆处理过，直接返回
        return hs[val];
        
    set<int> st;
    for(int i=0;i<m;++i)
    {
        int sum=f[i];
        if(val>=sum)
            st.insert(SG(val-sum));
    }
    
    for(int i=0; ;++i)
        if(!st.count(i))  //只要有最小不等于该集合的非负整数，就赋给hs[val];
            return hs[val]=i;
}

int main()
{
    cin >> m;
    for(int i=0;i<m;++i)
        cin >> f[i];
    
    memset(hs,-1,sizeof(hs)); //将所有集合都初始化为-1，表示未被处理
    
    int n;
    cin >> n;
    
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        int val;
        cin >> val;
        res^=SG(val);
    }
    
    if(res)  //如果异或和不为0
        puts("Yes");
    else  
        puts("No");
    
    return 0;
}