因果效应通常无法直接计算(无法同时观测一个样本施加和不施加干预的结果)，所以通常是通过观测数据推断，由于相关性
≠
\neq
=因果性，观测结果不直接等于ATE，Potenial Outcomes Framework提供了一套从观测结果获得因果效应的理论
定义：
X
X
X： 协变量
T
T
T：T=1干预组，T=0对照组
Y
Y
Y：observed outcome观测结果
Y
0
,
Y
1
Y_0,Y_1
Y0,Y1：potential outcome潜在结果，如果接受干预T=1或者T=0时的潜在结果
E
(
Y
0
)
,
E
(
Y
1
)
{E}(Y_0),{E}(Y_1)
E(Y0),E(Y1)：潜在结果的均值，如果所有人接受干预T=1(或者T=0)的均值
ATE(average causal treatment effect) ：
Δ
=
μ
1
−
μ
0
=
E
(
Y
1
)
−
E
(
Y
0
)
\Delta = \mu_1-\mu_0 = {E}(Y_1) - {E}(Y_0)
Δ=μ1−μ0=E(Y1)−E(Y0)
针对某个样本无法同时获得T=1和T=0的结果，样本的潜在结果Y可以写为： Y = Y 1 T + Y 0 ( 1 − T ) Y = Y_1T + Y_0(1-T) Y=Y1T+Y0(1−T)。通常情况下是无法从观测数据直接得到ATE的。由于confounders的存在，T=1和T=0组无法直接比较，导致相关性 ≠ \neq =因果性，相关性可由观测结果得到，因果性即为需要计算的ATE。
一组观测数据发现穿鞋睡觉和醒来头痛有强相关性，这明显不符合常识：
Y
‾
(
1
)
\overline Y^{(1)}
Y(1)为观测到的T=1的所有样本均值
Y
‾
(
1
)
=
E
(
Y
∣
T
=
1
)
=
E
(
Y
1
T
+
Y
0
(
1
−
T
)
∣
T
=
1
)
=
E
(
Y
1
∣
T
=
1
)
(1)
\overline Y^{(1)} = {E}(Y|T=1) = {E}( Y_1T + Y_0(1-T)|T=1) = {E}( Y_1|T=1) \tag1
Y(1)=E(Y∣T=1)=E(Y1T+Y0(1−T)∣T=1)=E(Y1∣T=1)(1) 但是
E
(
Y
1
∣
T
=
1
)
≠
E
(
Y
1
)
{E}(Y_1|T=1) \neq {E}(Y_1)
E(Y1∣T=1)=E(Y1) ，因为
E
(
Y
1
)
{E}(Y_1)
E(Y1)是所有样本接受干预的潜在结果的均值。
E
(
Y
1
∣
T
=
1
)
−
E
(
Y
0
∣
T
=
0
)
=
E
(
Y
1
−
Y
0
∣
T
=
1
)
⏞
A
T
T
+
E
(
Y
0
∣
T
=
1
)
−
E
(
Y
0
∣
T
=
0
)
⏞
b
i
a
s
≠
Δ
≠
E
(
Y
1
)
−
E
(
Y
0
)
(2)
\begin{aligned} {E}(Y_1|T=1)-{E}(Y_0|T=0) &= \overbrace{ {E}(Y_1-Y_0|T=1)}^{ATT} +\overbrace{ {E}(Y_0|T=1) - {E}(Y_0|T=0)}^{bias} \\ &\neq \Delta \neq {E}(Y_1) - {E}(Y_0) \tag2 \end{aligned}
E(Y1∣T=1)−E(Y0∣T=0)=E(Y1−Y0∣T=1)
ATT+E(Y0∣T=1)−E(Y0∣T=0)
bias=Δ=E(Y1)−E(Y0)(2)
和观测数据比，RCT实验数据符合一下条件：
(
Y
0
,
Y
1
)
⊥
T
⟺
X
⊥
T
{(Y_0,Y_1)} \bot {T} \iff X \bot T
(Y0,Y1)⊥T⟺X⊥T
Y
1
⊥
T
{Y_1} \bot {T}
Y1⊥T表示对于观测到T=0的样本，如果接受干预，其潜在结果和T=1的样本一致。即是否接受干预对潜在结果无影响(直观理解是由于
T
⊥
X
T \bot X
T⊥X，T=1和T=0两组人群可比，所以施加干预得到的潜在结果一致)：
E
(
Y
1
∣
T
=
1
)
=
E
(
Y
1
∣
T
=
0
)
=
E
(
Y
1
)
(3)
{E}(Y_1|T=1) = {E}(Y_1|T=0)= {E}(Y_1) \tag3
E(Y1∣T=1)=E(Y1∣T=0)=E(Y1)(3)
E
(
Y
1
∣
T
=
0
)
{E}(Y_1|T=0)
E(Y1∣T=0)是反事实对照结果，表示如果未干预组样本接受干预的潜在结果。由于一致性假设(将在下面阐述)，T=1的潜在结果和实际观测结果一致，即
E
(
Y
1
∣
T
=
1
)
=
Y
‾
(
1
)
E(Y_1|T=1)=\overline Y^{(1)}
E(Y1∣T=1)=Y(1)
由于3式成立，
Y
‾
(
1
)
−
Y
‾
(
0
)
=
Δ
=
E
(
Y
1
)
−
E
(
Y
0
)
\overline Y^{(1)}-\overline Y^{(0)} = \Delta = {E}(Y_1) - {E}(Y_0)
Y(1)−Y(0)=Δ=E(Y1)−E(Y0)
conditional ignorability ??
exchangeability
Adjustment by regression modeling
如果X包含所有confounders(sufficient adjustment sets)，则数据满足如下条件：
(
Y
0
,
Y
1
)
⊥
T
∣
X
{(Y_0,Y_1)} \bot {T|X}
(Y0,Y1)⊥T∣X 给可以理解为，给定
X
X
X条件下
T
T
T和
Y
1
Y_1
Y1垂直，取某个X值时，组里X都是一样，结果差异不由confounders导致，阻断了X->Y的因果路径。
通过观测数据推断因果效应(ATE)公式推导如下：
因果推断—原理与方法（深度好文）
Propensity Score Methods总结
Potential Outcome - Brady Neal
