【math】 向量运算：叉乘

1 定义

c=a×b

向量的叉乘，即求同时垂直两个向量的向量，即c垂直于a，且c垂直于b。

假设向量a=(a.x,a.y,a.z),b=(b.x,b.y,b.z),c=(c.x,c.y,c.z)，

则c=a×b=(a.x,a.y,a.z)×(b.x,b.y,b.z)=(a.y * b.z - a.z * b.y, a.z * b.x - a.x * b.z, a.x * b.y - a.y * b.x)
为方便记忆，可参照下图：

2 几何意义

|c|=|a×b|=|a| |b|sinθ（θ为a，b向量之间的夹角）

|c| 等于a,b向量构成的平行四边形的面积。

3 拓展应用

2d叉乘形式

假设有两个2d向量a,b，我们直接把他们视为3d向量（a.z=b.z=0）。

那么这个时候的a，b向量的叉乘结果c=a×b=(a.x,a.y,a.z)×(b.x,b.y,b.z)=(a.y * b.z - a.z * b.y, a.z * b.x - a.x * b.z, a.x * b.y - a.y * b.x)=(0,0,a.x * b.y - a.y * b.x)
即 c.z=a.x * b.y - a.y * b.x

此时可以令 k=c.z=a.x * b.y - a.y * b.x

k可以用于判断：

1. 计算a，b向量构成的平行四边形的面积。向量a与b的叉乘的模等于由a,b组成的平行四边形的面积。

证明：|c|=|a×b|=|a| |b|sinθ=1/2｜a｜｜b｜sinθ×2=S△ABD×2=S□ABCD

2. 判断旋转角度。如果k>0时，那么a正旋转到b的角度为<180°，如果k<0，那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a，b向量平行。
   这可延伸用于判断给定的一系列点能否构成凸多边形。

关于向量的叉乘右手定则判方向
a×b的方向：四指由a开始，指向b，拇指的指向就是a×b的方向，垂直于a和b所在的平面；
b×a的方向：四指由b开始，指向a，拇指的指向就是b×a的方向，垂直于b和a所在的平面；
a×b的方向与b×a的方向是相反的，且有：a×b=-b×a。