用户行为数据是推荐系统最常用，也是最关键的数据。用户的潜在兴趣、用户对物品的评价好坏都反映在用户的行为历史中。而协同过滤算法，就是一种完全依赖用户和物品之间行为关系的推荐算法。我们从它的名字“协同过滤”中，也可以窥探到它背后的原理，就是 “协同大家的反馈、评价和意见一起对海量的信息进行过滤，从中筛选出用户可能感兴趣的信息”
一起看一个电商场景下的例子。这个电商推荐系统从得到原始数据到生成最终推荐分数，全过程一共可以总结为 6 个步骤，如下所示。
首先，我们可以看到，电商网站的商品库里一共有 4 件商品：一个游戏机、一本小说、一本杂志，以及一台电视机。假设，现在有一名用户 X 访问了这个电商网站，电商网站的推荐系统需要决定是否推荐电视机给用户 X。
为了进行这项预测，推荐系统可以利用的数据有用户 X 对其他商品的历史评价数据，以及其他用户对这些商品的历史评价数据。我在图 b 中用绿色“点赞”的标志表示好评，用红色“踩”的标志表示了差评。这样一来，用户、商品和评价记录就构成了带有标识的有向图。
接下来，为了方便计算，我们将有向图转换成矩阵的形式。这个矩阵表示了物品共同出现的情况，因此被称为“共现矩阵”。其中，用户作为矩阵行坐标，物品作为列坐标，我们再把“点赞”和“踩”的用户行为数据转换为矩阵中相应的元素值。这里，我们将“点赞”的值设为 1，将“踩”的值设为 -1，“没有数据”置为 0（如果用户对物品有具体的评分，那么共现矩阵中的元素值可以取具体的评分值，没有数据时的默认评分也可以取评分的均值）。
生成共现矩阵之后，推荐问题就转换成了预测矩阵中问号元素（图 d所示）的值的问题。由于在“协同”过滤算法中，推荐的原理是让用户考虑与自己兴趣相似用户的意见。因此，我们预测的第一步就是找到与用户 X 兴趣最相似的 n（Top n 用户，这里的 n 是一个超参数）个用户，然后综合相似用户对“电视机”的评价，得出用户 X 对“电视机”评价的预测。
从共现矩阵中我们可以知道，用户 B 和用户 C 由于跟用户 X 的行向量近似，被选为 Top n（这里假设 n 取 2）相似用户，接着在图 e 中我们可以看到，用户 B 和用户 C 对“电视机”的评价均是负面的。因为相似用户对“电视机”的评价是负面的，所以我们可以预测出用户 X 对“电视机”的评价也是负面的。在实际的推荐过程中，推荐系统不会向用户 X 推荐“电视机”这一物品。
到这里，协同过滤的算法流程我们就说完了。也许你也已经发现了，这个过程中有两点不严谨的地方，一是用户相似度到底该怎么定义，二是最后我们预测用户 X 对“电视机”的评价也是负面的，这个负面程度应该有一个分数来衡量，但这个推荐分数该怎么计算呢？
首先，我们来解决计算用户相似度的问题。计算用户相似度其实并不是什么难事，因为在共现矩阵中，每个用户对应的行向量其实就可以当作一个用户的 Embedding 向量。 Embedding 相似度的计算方法，最经典的方法就是利用余弦相似度了，它衡量了用户向量 i 和用户向量 j 之间的向量夹角大小。夹角越小，余弦相似度越大，两个用户越相似，它的定义如下：
除了最常用的余弦相似度之外，相似度的定义还有皮尔逊相关系数、欧式距离等等。
接下来，我们再来看看推荐分数的计算。在获得 Top n 个相似用户之后，利用 Top n 用户生成最终的用户 u 对物品 p 的评分是一个比较直接的过程。这里，我们假设的是“目标用户与其相似用户的喜好是相似的”，根据这个假设，我们可以利用相似用户的已有评价对目标用户的偏好进行预测。最常用的方式是，利用用户相似度和相似用户评价的加权平均值，来获得目标用户的评价预测，公式如下所示。
虽然说协同过滤是目前公认的最经典的推荐算法，但我们还是可以轻松找出它的缺点，那就是共现矩阵往往非常稀疏，在用户历史行为很少的情况下，寻找相似用户的过程并不准确。于是，著名的视频流媒体公司 Netflix 对协同过滤算法进行了改进，提出了矩阵分解算法，加强了模型处理稀疏矩阵的能力。
这里用一个直观的例子来理解一下什么叫做矩阵分解
左图为协同过滤，右图为矩阵分解
左图 所示，协同过滤算法找到用户可能喜欢的视频的方式很直观，就是利用用户的观看历史，找到跟目标用户 Joe 看过同样视频的相似用户，然后找到这些相似用户喜欢看的其他视频，推荐给目标用户 Joe。
矩阵分解算法则是期望为每一个用户和视频生成一个隐向量，将用户和视频定位到隐向量的表示空间上（右图所示），距离相近的用户和视频表明兴趣特点接近，在推荐过程中，我们就应该把距离相近的视频推荐给目标用户。例如，如果希望为右图中的用户 Dave 推荐视频，我们可以找到离 Dave 的用户向量最近的两个视频向量，它们分别是《Ocean’s 11》和《The Lion King》，然后我们可以根据向量距离由近到远的顺序生成 Dave 的推荐列表。
矩阵分解就相当于一种 Embedding 方法，矩阵分解的主要过程，就是先分解协同过滤生成的共现矩阵，生成用户和物品的隐向量，再通过用户和物品隐向量间的相似性进行推荐。
那这个过程的关键就在于如何分解这个共现矩阵了。从形式上看，矩阵分解的过程是直观的，就是把一个 mxn 的共现矩阵，分解成一个 mxk 的用户矩阵和 kxn 的物品矩阵相乘的形式（如下图）
有了用户矩阵和物品矩阵，用户隐向量和物品隐向量就非常好提取了。用户隐向量就是用户矩阵相应的行向量，而物品隐向量就是物品矩阵相应的列向量。
那关键问题就剩下一个，也就是我们该通过什么方法把共现矩阵分解开。最常用的方法就是梯度下降。简单来说就是通过求取偏导的形式来更新权重。梯度更新的公式是 (wt+1=wt− α∗(∂w/∂L))。为了实现梯度下降，最重要的一步是定义损失函数 L，定义好损失函数我们才能够通过求导的方式找到梯度方向，这里我们就给出矩阵分解损失函数的定义如下。
这个目标函数里面，rui 是共现矩阵里面用户 u 对物品 i 的评分，qi 是物品向量，pu 是用户向量，K 是所有用户评分物品的全体集合。通过目标函数的定义我们可以看到，我们要求的物品向量和用户向量，是希望让物品向量和用户向量之积跟原始的评分之差的平方尽量小。简单来说就是，我们希望用户矩阵和物品矩阵的乘积尽量接近原来的共现矩阵。
