【数据科学】肯德尔等级相关系数（ Kendall's tau coefficient ）

2023-11-06

在统计学中，Kendall等级相关系数，通常称为Kendall的tau系数（在希腊字母τ之后），是用于测量两个测量量之间的序数关联的统计量。甲tau蛋白测试是一种非参数假设检验用于基于所述tau蛋白系数统计依赖性。

它是衡量等级相关：数据的排序的相似度时排名由每个量。它以1938年开发的莫里斯·肯德尔命名，尽管古斯塔夫·费希纳在1897年的时间序列背景下提出了类似的措施。

直观地说，两个变量之间的Kendall相关将是高的，当观察具有类似的（或相同的为1的相关性）秩（变量内的观察，即相对位置标签：第一，第二，第三等）在两者之间变量，当观察结果与两个变量之间的排序不相似（或相关性完全不同）时，变量为低。

肯德尔都是 $\tau$ 和斯皮尔曼的 $\rho$ 可以表述为更一般的相关系数的特殊情况。

定义

令（x 1， y 1），（x 2， y 2），...，（x n， y n）分别是联合随机变量X和Y的一组观察值，使得所有值（的） $X_ {I}$ ）和（ $义}$ ）是独一无二的。任何一对观察 ${\ displaystyle（x_ {i}，y_ {i}）}$ 和 ${\ displaystyle（x_ {j}，y_ {j}）}$ ，哪里 $我置于<J$ ，被认为是一致的，如果两个元件的行列（更精确地，由所述排序顺序X和由ÿ）同意：即，如果两个 ${\ displaystyle x_ {i}> x_ {j}}$ 和 ${\ displaystyle y_ {i}> y_ {j}}$ ; 或两者兼而有之 ${\ displaystyle x_ {i} <x_ {j}}$ 和 ${\ displaystyle y_ {i} <y_ {j}}$ 。他们被认为是不和谐的，如果 ${\ displaystyle x_ {i}> x_ {j}}$ 和 ${\ displaystyle y_ {i} <y_ {j}}$ ; 或者如果 ${\ displaystyle x_ {i} <x_ {j}}$ 和 ${\ displaystyle y_ {i}> y_ {j}}$ 。如果 $X_ {I} = X_ {Ĵ}$ 要么 ${\ displaystyle y_ {i} = y_ {j}}$ ，这对既不和谐也不矛盾。

肯德尔τ系数定义为：

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {ï¼{\ text {ä¸è´å¯¹æ°}}ï¼ - ï¼{\ text {discordant pair}}}}} {nï¼n-1ï¼/ 2}}ã}$

属性

的分母是对组合的总数，所以系数一定要在范围-1≤ τ ≤1。

如果两个排名之间的一致性是完美的（即两个排名相同），则系数的值为1。
如果两个排名之间的分歧是完美的（即，一个排名与另一个排名相反），则系数具有值-1。
如果X和Y是独立的，那么我们期望系数近似为零。
肯德尔秩系数的显式表达式是 ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {2} {n（n-1）}} \ sum _ {i <j} \ operatorname {sgn}（x_ {i} -x_ {j}）\ operatorname {sgn} （Y_ {I} -y_ {Ĵ}）}$ 。

假设检验

肯德尔秩系数通常用作统计假设检验中的检验统计量，以确定两个变量是否可被视为统计依赖性。该测试是非参数的，因为它不依赖于对X或Y的分布或（X，Y）的分布的任何假设。

在X和Y独立的零假设下，τ的采样分布具有零的预期值。精确分布不能用共同分布来表征，但可以精确计算小样本; 对于较大的样本，通常使用正态分布的近似值，均值为零和方差

${\ frac {2ï¼2n + 5ï¼} {9nï¼n-1ï¼}}$

关系会计

一双 ${\ displaystyle \ {（x_ {i}，y_ {i}），（x_ {j}，y_ {j}）\}}$ 如果被认为是并列的话 $X_ {I} = X_ {Ĵ}$ 要么 ${\ displaystyle y_ {i} = y_ {j}}$ ; 束缚既不协调也不矛盾。当数据中出现绑定对时，可以通过多种方式修改系数以使其保持在[-1,1]范围内：

Tau-a

牛头-统计测试协会的强度的的交叉表格。这两个变量都必须是有序的。Tau-a不会对关系进行任何调整。它被定义为：

$\ tau _ {A} = {\ frac {n_ {c} -n_ {d}} {n_ {0}}}$

其中nc，nd和n0的定义如下一节所述。

Tau-b

与Tau-a不同，Tau-b统计数据可以对关系进行调整。[5] Tau-b的值范围从-1（100％负相关或完全反转）到+1（100％正相关或完全一致）。值为零表示没有关联。

Kendall Tau-b系数定义为：

$\ tau _ {B} = {\ frac {n_ {c} -n_ {d}} {\ sqrt {（n_ {0} -n_ {1}）（n_ {0} -n_ {2}）}}}$

参数：

${\ begin {aligned} n_ {0}＆= n（n-1）/ 2 \\ n_ {1}＆= \ sum _ {i} t_ {i}（t_ {i} -1）/ 2 \\ n_ {2}＆= \ sum _ {j} u_ {j}（u_ {j} -1）/ 2 \\ n_ {c}＆= {\ text {一致对数}} \\ n_ {d} ＆= {\ text {不一致对的数量}} \\ t_ {i}＆= {\ text {} {}} {\ {{{{第一个数量}} \\ u_ {j}＆= {\ text {}中的绑定值数量}} j ^ {\ text {th}} {\ text {第二个数量的关系组}} \ end {aligned }}$

请注意，某些统计软件包（例如SPSS）使用替代公式来提高计算效率，其中“常用”数量是一致和不一致对的两倍。

Tau-c

Tau-c（也称为Stuart-Kendall Tau-c）比Tau-b更适合于基于非正方形（即矩形）列联表的数据分析。因此，如果两个变量的基础比例具有相同数量的可能值（排名前），则使用Tau-b，如果它们不同，则使用Tau-c。例如，一个变量可能在5分制（非常好，好，平均，差，非常差）上得分，而另一个可能基于更精细的10分制。

肯德尔Tau-c系数定义为：

${\ displaystyle \ tau _ {C} = {\ frac {2（n_ {c} -n_ {d}）} {n ^ {2} {\ frac {（m-1）} {m}}}}}$

参数：

${\ displaystyle {\ begin {aligned} n_ {c}＆= {\ text {一致对数}} \\ n_ {d}＆= {\ text {不和谐对数}} \\ r＆= {\ text {行数}} \\ c＆= {\ text {列数}} \\ m＆= \ min（r，c）\ end {aligned}}}$

算法

直接计算分子 $N_ {C} -n_ {d}$ ，涉及两个嵌套迭代，由以下伪代码表征：

numer := 0
for i:=2..N do
    for j:=1..(i-1) do
        numer := numer + sign(x[i] - x[j]) * sign(y[i] - y[j])
return numer

虽然快速实现，但这个算法是 $为O（n ^ {2}）$ 在复杂性和大样本变得非常慢。基于合并排序算法的更复杂的算法可用于计算分子 $O（n \ cdot \ log {n}）$ 时间。

首先按第一个数量排序您的数据点， $X$ 其次（在...中的关系） $X$ ）按第二数量， $ÿ$ 。通过这个初始订购， $ÿ$ 未排序，算法的核心包括计算冒泡排序将对此初始化进行排序所需的步数 $ÿ$ 。增强的合并排序算法，带 $O（n \ log n）$ 复杂性，可用于计算掉期数量， $S（y）的$ ，冒泡排序需要排序 $义}$ 。那么分子为 $\ tau蛋白$ 计算如下：

$N_ {C} -n_ {d} = N_ {0} -n_ {1} -n_ {2} + N_ {3} -2S（Y），$

哪里 $N_ {3}$ 算得像 $N_ {1}$ 和 $N_ {2}$ ，但关于联合关系 $X$ 和 $ÿ$ 。

一个归并排序划分的数据进行排序， $ÿ$ 两个大致相等的一半， $y _ {\ mathrm {left}}$ 和 $y _ {\ mathrm {right}}$ ，然后对每一半递归进行排序，然后将两个已排序的一半合并为一个完全排序的向量。数冒泡排序互换等于：

$S（y）= S（y _ {\ mathrm {left}}）+ S（y _ {\ mathrm {right}}）+ M（Y _ {\ mathrm {left}}，Y _ {\ mathrm {right}}）$

哪里 $是_ {\ mathrm {left}}$ 和 $是_ {\ mathrm {right}}$ 是排序版本 $y _ {\ mathrm {left}}$ 和 $y _ {\ mathrm {right}}$ ，和 $M（\ cdot，\ cdot）$ 表征合并操作的冒号排序交换等价物。 $M（\ cdot，\ cdot）$ 计算如下面的伪代码所示：

function M(L[1..n], R[1..m])
    i := 1
    j := 1
    nSwaps := 0
    while i <= n  and j <= m do
        if R[j] < L[i] then
            nSwaps := nSwaps + n - i + 1
            j := j + 1
        else
            i := i + 1
    return nSwaps

上述步骤的副作用是您最终得到的排序版本 $X$ 和一个排序版本 $ÿ$ 。有了这些，因素 $T_ {I}$ 和 $U_ {}Ĵ$ 用来计算 $\ tau _ {B}$ 很容易在单个线性时间内通过排序数组获得。

参考文献：https://en.wikipedia.org/wiki/Kendall_rank_correlation_coefficient

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