查找树的定义:
一棵标准的二叉查找树中的结点称为2- 结点(含有一个键和两条链) ，而现在我们引入 3- 结点（含有两个键和三条链）。
2- 结点： 含有一个键( 及其对应的值 ) 和两条链，左链接指向 2-3 树中的键都小于该结点，右链接指向的 2-3 树中的键都大于该结点。
3-结点： 含有两个键 ( 及其对应的值 ) 和三条链，左链接指向的 2-3 树中的键都小于该结点，中链接指向的 2-3 树中的键都位于该结点的两个键之间，右链接指向的2-3 树中的键都大于该结点。
查找
将二叉查找树的查找算法一般化我们就能够直接得到2-3树的查找算法。要判断一个键是否在树中，我们先将它和根结点中的键比较。如果它和其中任意一个相等，查找命中﹔否则我们就根据比较的结果找到指向相应区间的连接，并在其指向的子树中递归地继续查找。如果这个是空链接，查找未命中。
插入
向2-结点中插入新键
往2-3树中插入元素和往二叉查找树中插入元素一样，首先要进行查找，然后将节点挂到未找到的节点上。2-3树之所以能够保证在最差的情况下的效率的原因在于其插入之后仍然能够保持平衡状态。如果查找后未找到的节点是一个2-结点，那么很容易，我们只需要将新的元素放到这个2-结点里面使其变成一个3-结点即可。但是如果查找的节点结束于一个3-结点，那么可能有点麻烦。
向一棵只含有一个3-结点的树中插入新键
假设2-3树只包含一个3-结点，这个结点有两个键，没有空间来插入第三个键了，最自然的方式是我们假设这个结点能存放三个元素，暂时使其变成一个4-结点，同时他包含四条链接。然后，我们将这个4-结点的中间元素提升，左边的键作为其左子结点，右边的键作为其右子结点。插入完成，变为平衡2-3查找树，树的高度从0变为1。
向一个父结点为2-结点的3-结点中插入新键
将新的元素插入到3-结点中，使其成为一个临时的4-结点，然后，将该结点中的中间元素提升到父结点即2-结点中，使其父结点成为一个3-结点，然后将左右结点分别挂在这个3-结点的恰当位置。
向一个父结点为3-结点的3-结点中插入新键
当我们插入的结点是3-结点的时候，我们将该结点拆分，中间元素提升至父结点，但是此时父结点是一个3-结点，插入之后，父结点变成了4-结点，然后继续将中间元素提升至其父结点，直至遇到一个父结点是2-结点，然后将其变为3-结点，不需要继续进行拆分。
分解根结点
当插入结点到根结点的路径.上全部是3-结点的时候，最终我们的根结点会编程一个临时的4-结点, 此时，就需要将根结点拆分为两个2-结点，树的高度加1。
2-3树的性质
直接实现2-3树比较复杂，因为∶
需要处理不同的结点类型，非常繁琐;需要多次比较操作来将结点下移;需要上移来拆分4-结点;
拆分4-结点的情况有很多种;
2-3查找树实现起来比较复杂，在某些情况插入后的平衡操作可能会使得效率降低。但是2-3查找树作为一种比较重要的概念和思路对于我们后面要讲到的红黑树、B树和B+树非常重要。
红黑树主要是对 2-3 树进行编码，红黑树背后的基本思想是用标准的二叉查找树 ( 完全由 2- 结点构成 ) 和一些额外的信 息( 替换 3- 结点 ) 来表示 2-3 树。我们将树中的链接分为两种类型。
红链接： 将两个 2- 结点连接起来构成一个 3- 结点；
黑链接： 则是 2-3 树中的普通链接
红黑树的具体定义
1. 红链接均为左链接；
2. 没有任何一个结点同时和两条红链接相连；
3. 该树是完美黑色平衡的，即任意空链接到根结点的路径上的黑链接数量相同；
4. 根结点的颜色总是黑色
红黑树的插入实现：左旋、右旋、颜色反转 组合使用
在对红黑树进行一些增删改查的操作后，很有可能会出现红色的右链接或者两条连续红色的链接，而这些都不满足红黑树的定义，所以我们需要对这些情况通过旋转进行修复，让红黑树保持平衡。
左旋
当某个结点的左子结点为黑色，右子结点为红色，此时需要左旋 。
前提： 当前结点为 h ，它的右子结点为 x ；
左旋过程：
1. 让 x 的左子结点变为 h 的右子结点： h.right=x.left;
2. 让 h 成为 x 的左子结点： x.left=h;
3. 让x 的 color 属性变为h 的 color 属性值： x.color=h.color;
4. 让 h 的 color 属性变为红色 ： h.color=true;
右旋
当某个结点的左子结点是红色，且左子结点的左子结点也是红色，需要右旋
前提： 当前结点为 h ，它的左子结点为 x ；
右旋过程：
1. 让 x 的右子结点成为 h 的左子结点： h.left = x.right;
2. 让 h 成为 x 的右子结点： x.right=h;
3. 让 x 的 color 变为 h 的 color 属性值： x.color = h.color;
4. 让h 的 color 为红色 ；
但是右旋后，还是不符合红黑树的定义，这时候还需要一个颜色反转的操作。
（1）如果新键小于当前结点的键，我们只需要新增一个红色结点即可
（2）如果新键大于当前结点的键，那么新增的红色结点将会产生一条红色的右链接，此时我们需要通过左旋，把红色右链接变成左链接，插入操作才算完成。
我们会用红链接将新结点和它的父结点相连。如果它的父结点是一个2-结点，那么刚才讨论的两种方式仍然适用。
当一个结点的左子结点和右子结点的 color 都为 RED 时，也就是出现了临时的 4- 结点，此时只需要把左子结点和右子点的颜色变为BLACK ，同时让当前结点的颜色变为 RED 即可。
（1）新键大于原树中的两个键
（2）新键小于原树中的两个键
（3） 新键介于原数中两个键之间
根结点的颜色总是黑色
在结点 Node 对象中 color 属性表示的是父结点指向当前结点的连接的颜色，由于根结点不存在父结点， 所以每次插入操作后，我们都需要把根结点的颜色设置为黑色 。
向树底部的3-结点插入新键
假设在树的底部的一个 3- 结点下加入一个新的结点。前面我们所讲的 3 种情况都会出现。指向新结点的链接可能是 3-结点的右链接（此时我们只需要转换颜色即可），或是左链接 ( 此时我们需要进行右旋转然后再转换 ) ，或是中链 接( 此时需要先左旋转然后再右旋转，最后转换颜色 ) 。颜色转换会使中间结点的颜色变红，相当于将它送入了父结点。这意味着父结点中继续插入一个新键，我们只需要使用相同的方法解决即可，直到遇到一个2- 结点或者根结点为止。
