先看两者定义：
一致收敛：任意正数
ϵ
\epsilon
ϵ，存在
N
>
0
N>0
N>0，当
n
>
N
n>N
n>N时，对于任意
x
x
x，
∣
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
∣
<
ϵ
|f_n(x)-f(x)|<\epsilon
∣fn(x)−f(x)∣<ϵ
点态收敛：对于每一个固定的
x
x
x,任给正数
ϵ
\epsilon
ϵ,存在
N
N
N（
N
N
N和
x
x
x,
ϵ
\epsilon
ϵ都有关），任意
n
n
n满足
n
>
N
n>N
n>N，有
∣
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
∣
<
ϵ
|f_n(x)-f(x)|<\epsilon
∣fn(x)−f(x)∣<ϵ。
有时候题目也会这样：
任意
x
x
x,
n
n
n足够大时
f
(
x
)
f(x)
f(x)收敛到极限函数
对于足够大的
n
n
n,任意
x
x
x,
f
(
x
)
f(x)
f(x)收敛到极限函数
可以看出:
1.两者最后收敛的结果都是极限函数，所以只要问收敛就要求极限函数。
2.两者的不同在于，
一致收敛先固定n，再看对任意x是否满足
点态收敛先固定x，看对任意n是否满足。
所以定义里
x
x
x和
N
N
N的顺序不同，这个要大大注意。
看下图是每个点都点态收敛，但是不一致收敛的例子。
f
n
(
x
)
=
1
x
n
f_n(x)=\frac{1}{x^n}
fn(x)=xn1
点态收敛：固定x（就是沿着y轴看），可以看见n取得大一点，一定可以离极限函数足够近
一致收敛：固定n（就是沿着一条函数看），可以看见x离1越近就离极限函数越远。
绝对收敛和条件收敛与一致收敛没关系，与点态收敛有关。
原数列每项加了绝对值以后收敛，则称绝对收敛，
若不绝对收敛，但是点态收敛，则称为条件收敛.
条件收敛
→
\to
→点态收敛
绝对收敛
→
\to
→点态收敛
一致收敛
→
\to
→点态收敛
一致收敛和绝对收敛，条件收敛没有直接关系
