matlab 杨氏双缝干涉实验

2023-11-07

一、算法原理

杨氏双缝干涉实验是利用分波振面法获得相干光束的典型例子，如图1 所示，在普通单色光光源后放一狭缝 S S S， S S S后又放有与 S S S平行且等距离的两平行狭缝 S 1 S_1 S1和 S 2 S_2 S2 。单色光通过两个狭缝 S 1 S_1 S1， S 2 S_2 S2射向屏幕，相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离（光程）不同引起相位差，叠合的结果是在有的点加强，在有的点抵消，造成干涉现象。 d d d为双缝的间隔， D D D为屏幕到双狭缝平面的距离， y y y为 O O O到 P P P的距离。
在这里插入图片描述

考虑两个相干光源到屏幕上任意点 P P P的距离差为：
r 1 = ( D 2 + ( y − d 2 ) 2 (1) r_1=\sqrt{(D^2+(y-\frac{d}{2})^2} \tag{1} r1=(D2+(y−2d)2 (1)

r 2 = ( D 2 + ( y + d 2 ) 2 (2) r_2=\sqrt{(D^2+(y+\frac{d}{2})^2} \tag{2} r2=(D2+(y+2d)2 (2)

Δ r = r 2 − r 1 (3) \Delta r=r_2-r_1 \tag{3} Δr=r2−r1(3)

引起的相位差为：
φ = 2 π Δ r λ (4) φ=2\pi\frac{\Delta r}{\lambda} \tag{4} φ=2πλΔr(4)

设两束相干光在屏幕上 P P P点产生振幅相同，均为 A 0 A_0 A0，则夹角为 φ φ φ的两个矢量 A 0 A_0 A0的合成矢量的幅度为：
A = 2 A 0 c o s ( φ 2 ) (5) A=2A_0cos(\frac{φ}{2}) \tag{5} A=2A0cos(2φ)(5)

光强 I I I正比于振幅的平方，故 P P P点光强为
I = 4 I 0 c o s 2 ( φ 2 ) (6) I=4I_0cos^2(\frac{φ}{2}) \tag{6} I=4I0cos2(2φ)(6)

下面从理论上加以推导，由上面的式（1～2）可得
r 2 2 − r 1 2 = ( r 2 + r 1 ) ( r 2 − r 1 ) = 2 d y (7) r_2^2-r_1^2=(r_2+r_1)(r_2-r_1)=2dy\tag{7} r22−r12=(r2+r1)(r2−r1)=2dy(7)

考虑到 d , y d,y d,y 很小，（ r 1 + r 2 ） ≈ 2 D （r1+r2）≈2D （r1+r2）≈2D，结合（7）式有
r 2 − r 1 = d D y (8) r_2-r_1=\frac{d}{D}y \tag{8} r2−r1=Ddy(8)

这样就得点 P P P处于亮条纹中心的条件为
y = D d 2 k λ 2 , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . (9) y=\frac{D}{d}2k\frac{\lambda}{2},k=0,\pm1,\pm2,... \tag{9} y=dD2k2λ,k=0,±1,±2,...(9)
因此，亮条纹是等间距的. 若采用红光，其波长 λ = 500 n m λ=500 nm λ=500nm，屏幕到双狭缝平面的距离 D ＝ 1 m D＝1 m D＝1m，双缝的间隔 d ＝ 2 m m d＝ 2 mm d＝2mm，则相邻条纹间距为

D d λ = 1 0.002 × 500 × 1 0 − 9 = 2.5 × 1 0 − 4 m (10) \frac{D}{d}\lambda=\frac{1}{0.002}\times500\times 10^{-9}=2.5\times10^{-4}m\tag{10} dDλ=0.0021×500×10−9=2.5×10−4m(10)

二、代码实现

%% 模拟杨氏干涉现象
clear,clc;
%% -----------------------------输入参数----------------------------------
Lambda = 500e-9;                   % 输入波长
a = 2e-3;                          % 双缝间距
D = 1;                             % 观察屏离双缝距离
%% -----------------------------计算光强----------------------------------
ym = 5*Lambda*D/a;                 % 取最高为第5级亮条纹(边界)--单位为：m
xs = ym;                           % 设定光屏的范围
ys = linspace(-ym,ym,101);         % 把光屏的y 方向分成101 点

r1 = sqrt((ys-a/2).^2+D.^2);       % 光程差r1
r2 = sqrt((ys+a/2).^2+D.^2);       % 光程差r2
phi = 2.*pi.*(r2-r1)./Lambda;      % 相位差
I = 4.*cos(phi/2).^2;              % 合成波光强
%% ----------------------------结果可视化---------------------------------
N = 255;                           % 确定用的灰度等级为255 级
Ir = (I'/4.0)*N;                   % 使最大光强对应于最大灰度级（白色）
subplot(1,2,1);
image(xs,ys,Ir);                   % 画干涉条纹
colormap(gray(N));
xlabel('空间坐标x');
title('合成光强空间分布');
subplot(1,2,2);
plot(I,ys)                         %  画出光强变化曲线
xlabel('空间坐标x'), ylabel('合成光强度');
title('合成光强空间分布函数');

三、结果展示

在这里插入图片描述

上图是光屏上的干涉图条纹，右图是光屏上沿y 轴方向光强的变化曲线．从图中也不难看出，干涉条纹是以点O 所对应的水平线为对称，沿上下两侧交替，等距离排列。可以看出相邻亮条纹中心间距为 2.5 × 1 0 − 4 m 2.5×10^{-4} m 2.5×10−4m。与式（10）计算结果相一致。

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