姿态解算原理(一)——旋转矩阵

2023-05-16

像我们常见的MPU6050、MPU9250等等都是一种捷联式的惯性元件，还是一种低成本的，还有一种是平台式的惯性导航，不过我们能够用得起的就是低成本的MEMS惯性元件，本文的内容是姿态解算的原理
进入正题，姿态解算原理很简单，我们需要一种传感器感知刚体的旋转运动，而陀螺仪就是一种这样的元件，它用来感知惯性空间的角速度，有了角速度自然就可以积分得到角度，一维的就是这样，我们直接积分就好了，而二维的、三维的我们同样可以积分，不过这就涉及到矩阵运算了。
下面展示的是旋转矩阵进行坐标转换，假设我们在三维坐标系下旋转了绕Z轴旋转了一个角度

原来是X1-Y1-Z1坐标系，绕Z轴旋转α角度之后就是X2-Y2-Z2坐标系了，假设在原来的坐标系上有一个向量OF，我们怎么来描述OF经过旋转之后的变化呢？我们就可以通过旋转矩阵来实现，其实就是对向量进行了线性变换，得到了一个新的向量，模不变，但是基底变了
在这里插入图片描述
如上图，通过计算，高中的数学基础就可以得到，我们可以得到F在两个坐标系下之间的关系，写成矩阵形式：

这就是绕z轴旋转α的旋转矩阵，可以看出是正交矩阵，因此它的逆就是它的转置，如果我们再分别得到绕X、Y轴的姿态矩阵，就可以得到绕三轴任意旋转的姿态矩阵了，其中绕X轴的为俯仰角pitch，写为θ，绕Y轴的为滚转角roll，写作γ，绕Z轴的为航向角yaw，写作φ

在这里插入图片描述
写出来就是这样，之后我们再将三个矩阵相乘，得到姿态矩阵

有了姿态矩阵，我们可以看出，姿态矩阵是用三个姿态角表示的，通过姿态矩阵，我们可以反求出姿态角

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