聚合模型实际上就是将许多模型聚合在一起，从而使其分类性能更佳。

aggregation models: mix or combine hypotheses (for better performance)

下面举个例子：
你有 T T T 朋友，他们对于股票涨停的预测表现为 g 1 , ⋯   , g T g_1,\cdots ,g_T g1​,⋯,gT​。 常见的聚合（aggregation）方法有：

1. select the most trust-worthy friend from their usual performance
   根据他们的平常表现，选出最值得信任的朋友
   G ( x ) = g t ∗ ( x )  with  t ∗ = argmin ⁡ t ∈ { 1 , 2 , … , T } E val  ( g t − ) G(\mathbf{x})=g_{t_{*}}(\mathbf{x}) \text { with } t_{*}=\operatorname{argmin}_{t \in\{1,2, \ldots, T\}} E_{\text {val }}\left(g_{t}^{-}\right) G(x)=gt∗​​(x) with t∗​=argmint∈{1,2,…,T}​Eval ​(gt−​)
2. mix the predictions from all your friends uniformly
   将所有朋友的预测取平均值
   G ( x ) = sign ⁡ ( ∑ t = 1 T 1 ⋅ g t ( x ) ) G(\mathbf{x})=\operatorname{sign}\left(\sum_{t=1}^{T} 1 \cdot g_{t}(\mathbf{x})\right) G(x)=sign(t=1∑T​1⋅gt​(x))
3. mix the predictions from all your friends non-uniformly
   将所有朋友的预测值取加权平均值
   G ( x ) = sign ⁡ ( ∑ t = 1 T α t ⋅ g t ( x ) )  with  α t ≥ 0 G(\mathbf{x})=\operatorname{sign}\left(\sum_{t=1}^{T} \alpha_{t} \cdot g_{t}(\mathbf{x})\right) \text { with } \alpha_{t} \geq 0 G(x)=sign(t=1∑T​αt​⋅gt​(x)) with αt​≥0
4. combine the predictions conditionally
   根据当前状态 x \mathbf{x} x 确定权重后结合。
   G ( x ) = sign ⁡ ( ∑ t = 1 T q t ( x ) ⋅ g t ( x ) )  with  q t ( x ) ≥ 0 G(\mathbf{x})=\operatorname{sign}\left(\sum_{t=1}^{T} q_{t}(\mathbf{x}) \cdot g_{t}(\mathbf{x})\right) \text { with } q_{t}(\mathbf{x}) \geq 0 G(x)=sign(t=1∑T​qt​(x)⋅gt​(x)) with qt​(x)≥0

学到这里，可能有一种感觉，与模型选择比较相近，并根据直观印象，取平均获得是分类器一定比最好的差，比最差的好。所以会感觉 aggregation 用处不大，那现在看一下， aggregation 的真正的用处是什么？

以下图为例：

左侧第一个图中，实际上是使用三条竖线或横线实现了二分类，虽然竖线或横线是很弱的一种分类器，但是如此结合便获得了一个较强的分类器，其分类效果好于任何一个分类器独自分类的结果。

右侧第一个图中，是许多直线的取平均值获得的，这种状态存在于数据样本较少时，可以获取一种与SVM类似的效果，虽然这么多直线对于训练样本（采样数据）的分类效果一样，但是对于测试样本（全局数据）可能有更好的分类效果。

所以说真正的 aggregation 并不只是单纯的取平均而已，其可能是为了弥补当前分类器的不足（分类器分类性能较弱，分类器的泛化能力较弱）。即合理的聚合（aggregation）代表了更好的性能（performance）。

Blending

均值融合（uniform blending）

用于分类：

数学表达如下：

G ( x ) = sign ⁡ ( ∑ t = 1 T g t ( x ) ) G(\mathbf{x})=\operatorname{sign} \left( \sum_{t=1}^{T} g_{t}(\mathbf{x}) \right) G(x)=sign(t=1∑T​gt​(x))

有 T T T 个人，每人一票。当 g t g_{t} gt​ 预测值相近，那么性能不变。当 g t g_{t} gt​ 多样民主时，少数服从多数（majority can correct minority）

在多分类中的数学表达为：

G ( x ) = argmax ⁡ 1 ≤ k ≤ K ∑ t = 1 T [ [ g t ( x ) = k ] ] G(\mathbf{x})=\underset{1 \leq k \leq K}{\operatorname{argmax}} \sum_{t=1}^{T}\left[\kern-0.15em\left[g_{t}(\mathbf{x})=k\right]\kern-0.15em\right] G(x)=1≤k≤Kargmax​t=1∑T​[[gt​(x)=k]]

用于回归：

G ( x ) = 1 T ∑ t = 1 T g t ( x ) G(\mathbf{x})=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} g_{t}(\mathbf{x}) G(x)=T1​t=1∑T​gt​(x)

当 g t g_{t} gt​ 预测值相近，那么性能不变。当 g t g_{t} gt​ 多样民主时，一些分类结果 g t ( x ) > f ( x ) g_{t}(\mathbf{x})>f(\mathbf{x}) gt​(x)>f(x) ，另一些分类结果 g t ( x ) < f ( x ) g_{t}(\mathbf{x})<f(\mathbf{x}) gt​(x)<f(x)，那么理想状态取平均可以获得最佳解。

综合上述两种需求，多样性的 hypotheses 更容易使得融合模型性能更佳。

现在进行理论分析，其性能是否改善，这里以回归模型为例：
这里的取平均是针对全部的 hypothesis 或者说 T T T 个 g t g_t gt​ 进行的，并针对的是随机的单个样本。
avg ⁡ ( ( g t ( x ) − f ( x ) ) 2 ) = avg ⁡ ( g t 2 − 2 g t f + f 2 ) = avg ⁡ ( g t 2 ) − 2 G f + f 2 = avg ⁡ ( g t 2 ) − G 2 + ( G − f ) 2 = avg ⁡ ( g t 2 ) − 2 G 2 + G 2 + ( G − f ) 2 = avg ⁡ ( g t 2 ) − 2 avg ⁡ ( g t ) G + G 2 + ( G − f ) 2 = avg ⁡ ( g t 2 − 2 g t G + G 2 ) + ( G − f ) 2 = avg ⁡ ( ( g t − G ) 2 ) + ( G − f ) 2 \begin{aligned} \operatorname{avg}\left(\left(g_{t}(\mathrm{x})-f(\mathrm{x})\right)^{2}\right) &=\operatorname{avg}\left(g_{t}^{2}-2 g_{t} f+f^{2}\right) \\ &=\operatorname{avg}\left(g_{t}^{2}\right)-2 G f+f^{2} \\ &=\operatorname{avg}\left(g_{t}^{2}\right)-G^{2}+(G-f)^{2} \\ &=\operatorname{avg}\left(g_{t}^{2}\right)-2 G^{2}+G^{2}+(G-f)^{2} \\ &=\operatorname{avg}\left(g_{t}^{2}\right)-2\operatorname{avg}\left(g_{t}\right)G+G^{2}+(G-f)^{2} \\ &=\operatorname{avg}\left(g_{t}^{2}-2 g_{t} G+G^{2}\right)+(G-f)^{2} \\ &=\operatorname{avg}\left(\left(g_{t}-G\right)^{2}\right)+(G-f)^{2} \end{aligned} avg((gt​(x)−f(x))2)​=avg(gt2​−2gt​f+f2)=avg(gt2​)−2Gf+f2=avg(gt2​)−G2+(G−f)2=avg(gt2​)−2G2+G2+(G−f)2=avg(gt2​)−2avg(gt​)G+G2+(G−f)2=avg(gt2​−2gt​G+G2)+(G−f)2=avg((gt​−G)2)+(G−f)2​

也就是说，在对全部训练样本 x n \mathbf{x}_n xn​ 进行分析取全部误差的平均值。这里 用 E \mathcal{E} E 表示平均值。举个例子： 1 N ∑ n = 1 N ( g t ( x n ) − f ( x n ) ) 2 = E ( g t − f ) 2 \frac{1}{N}\sum_{n = 1}^{N}\left(g_{t}(\mathrm{x}_n)-f(\mathrm{x}_n)\right)^{2} = \mathcal{E}\left(g_{t}-f\right)^{2} N1​∑n=1N​(gt​(xn​)−f(xn​))2=E(gt​−f)2。

avg ⁡ ( E ( g t − f ) 2 ) = avg ⁡ ( E ( g t − G ) 2 ) + E ( G − f ) 2 avg ⁡ ( E out  ( g t ) ) = avg ⁡ ( E ( g t − G ) 2 ) + E out  ( G ) ≥ + E out  ( G ) \begin{aligned} \operatorname{avg}\left(\mathcal{E}\left(g_{t}-f\right)^{2}\right) &=\operatorname{avg}\left(\mathcal{E}\left(g_{t}-G\right)^{2}\right) & +\mathcal{E}(G-f)^{2}\\ \operatorname{avg}\left(E_{\text {out }}\left(g_{t}\right)\right) &=\operatorname{avg}\left(\mathcal{E}\left(g_{t}-G\right)^{2}\right) &+E_{\text {out }}(G) \\ & \geq & +E_{\text {out }}(G) \end{aligned} avg(E(gt​−f)2)avg(Eout ​(gt​))​=avg(E(gt​−G)2)=avg(E(gt​−G)2)≥​+E(G−f)2+Eout ​(G)+Eout ​(G)​

即 G G G 优于 g t g_t gt​ 的平均值。

现在假设在分布为 P N P^{N} PN (i.i.d.) 的数据上选取大小为 N N N 的数据集 D t \mathcal{D}_{t} Dt​，并通过 A ( D t ) \mathcal{A}\left(\mathcal{D}_{t}\right) A(Dt​) 获取 g t g_{t} gt​。那么执行无数次可以获取到 g ˉ \bar g gˉ​，表达式如下：

g ˉ = lim ⁡ T → ∞ G = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∑ t = 1 T g t = E D A ( D ) \bar{g}=\lim _{T \rightarrow \infty} G=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} g_{t}=\underset{\mathcal{D}}{\mathcal{E}} \mathcal{A}(\mathcal{D}) gˉ​=T→∞lim​G=T→∞lim​T1​t=1∑T​gt​=DE​A(D)

那么现在用 g ˉ \bar{g} gˉ​ 代替 G G G，之前所求仍然成立，即：

avg ⁡ ( E out  ( g t ) ) = avg ⁡ ( E ( g t − g ˉ ) 2 ) + E out  ( g ˉ ) \begin{aligned} \operatorname{avg}\left(E_{\text {out }}\left(g_{t}\right)\right) &=\operatorname{avg}\left(\mathcal{E}\left(g_{t}-\bar{g}\right)^{2}\right) &+E_{\text {out }}(\bar{g}) \\ \end{aligned} avg(Eout ​(gt​))​=avg(E(gt​−gˉ​)2)​+Eout ​(gˉ​)​

其中

• avg ⁡ ( E out  ( g t ) ) \operatorname{avg}\left(E_{\text {out }}\left(g_{t}\right)\right) avg(Eout ​(gt​)) 代表了算法的期望性能（expected performance of A）。
• E out  ( g ˉ ) E_{\text {out }}(\bar{g}) Eout ​(gˉ​) 代表了共识性能（performance of consensus），又叫偏差（bias）
• avg ⁡ ( E ( g t − g ˉ ) 2 ) \operatorname{avg}\left(\mathcal{E}\left(g_{t}-\bar{g}\right)^{2}\right) avg(E(gt​−gˉ​)2) 代表了共识的期望偏差（expected deviation to consensus），又叫方差（variance）

线性融合（Linear Blending）

用于分类：

数学表达如下：

G ( x ) = sign ⁡ ( ∑ t = 1 T α t ⋅ g t ( x ) )  with  α t ≥ 0 G(\mathbf{x})=\operatorname{sign}\left(\sum_{t=1}^{T} \alpha_{t} \cdot g_{t}(\mathbf{x})\right) \text { with } \alpha_{t} \geq 0 G(x)=sign(t=1∑T​αt​⋅gt​(x)) with αt​≥0

与均值融合相似，有 T T T 个人，但是每人 α t \alpha_t αt​ 票，而不是都只有一票。

用于回归：
min ⁡ α t ≥ 0 1 N ∑ n = 1 N ( y n − ∑ t = 1 T α t g t ( x n ) ) 2 \min _{\alpha_{t} \geq 0} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}\left(y_{n}-\sum_{t=1}^{T} \alpha_{t} g_{t}\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right)^{2} αt​≥0min​N1​n=1∑N​(yn​−t=1∑T​αt​gt​(xn​))2

这里重温一下线性回归加非线性转换的结合模型，其数学表达如下：

min ⁡ w i 1 N ∑ n = 1 N ( y n − ∑ i = 1 d ~ w i ϕ i ( x n ) ) 2 \min _{w_{i}} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}\left(y_{n}-\sum_{i=1}^{\tilde{d}} w_{i} \phi_{i}\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right)^{2} wi​min​N1​n=1∑N​⎝⎛​yn​−i=1∑d~​wi​ϕi​(xn​)⎠⎞​2

可以看出两种非常相似。

所以说线性融合就是线性回归使用假设函数作为非线性转换工具，并且有约束条件。

那么该最优化问题可以写为：
min ⁡ α t ≥ 0 1 N ∑ n = 1 N err ⁡ ( y n , ∑ t = 1 T α t g t ( x n ) ) \min _{\alpha_{t} \geq 0} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \operatorname{err}\left(y_{n}, \sum_{t=1}^{T} \alpha_{t} g_{t}\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right) αt​≥0min​N1​n=1∑N​err(yn​,t=1∑T​αt​gt​(xn​))

在实际运用中，常常不用约束条件 α t > 0 \alpha_t > 0 αt​>0，因为：
 if  α t < 0 ⇒ α t g t ( x ) = ∣ α t ∣ ( − g t ( x ) ) \text { if } \alpha_{t}<0 \Rightarrow \alpha_{t} g_{t}(\mathbf{x})=\left|\alpha_{t}\right|\left(-g_{t}(\mathbf{x})\right)  if αt​<0⇒αt​gt​(x)=∣αt​∣(−gt​(x))
也就是说认为 g t g_t gt​ 的分类错误很高，与预测值常常相反。那么取反便会得到较好性能的分类器。

与模型选择一样，虽然使用训练集获取 g t g_t gt​，但是最好使用验证集获取 α t \alpha_t αt​。

堆叠融合（Stacking or Any Blending）

前面提到的均值融合和线性融合实际上类似于滤波，将预测值乘以一个系数后输出，若将其视为一个模型，那么该模型表达式为 g ~ ( g 1 , g 2 , ⋯   , g T ) = α 1 g 1 + α 2 g 2 + ⋯ + α T g T \tilde g(g_1,g_2,\cdots,g_T) = \alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2 + \cdots + \alpha_T g_T g~​(g1​,g2​,⋯,gT​)=α1​g1​+α2​g2​+⋯+αT​gT​。那么 blending 的一般形式便不局限于输入参数的线性组合，可能 g ~ \tilde g g~​ 是也是一个 hypothesis。

Given g 1 − , g 2 − , … , g T − g_{1}^{-}, g_{2}^{-}, \ldots, g_{T}^{-} g1−​,g2−​,…,gT−​ from D train  , \mathcal{D}_{\text {train }}, Dtrain ​, transform ( x n , y n ) \left(\mathbf{x}_{n}, y_{n}\right) (xn​,yn​) in D val  \mathcal{D}_{\text {val }} Dval ​ to ( z n = Φ − ( x n ) , y n ) , \left(\mathbf{z}_{n}=\Phi^{-}\left(\mathbf{x}_{n}\right), y_{n}\right), (zn​=Φ−(xn​),yn​), where

学习步骤如下：

1. 从训练集 D train \mathcal{D}_{\text {train}} Dtrain​ 中获取 g 1 − , g 2 − , … , g T − g_{1}^{-}, g_{2}^{-}, \ldots, g_{T}^{-} g1−​,g2−​,…,gT−​，将验证集数据映射到 Z \mathcal Z Z 空间，即 z n = ( Φ − ( x n ) , y n ) \mathbf{z}_{n}=\left(\Phi^{-}\left(\mathbf{x}_{n}\right), y_{n}\right) zn​=(Φ−(xn​),yn​) ，其中映射函数为： Φ − ( x ) = ( g 1 − ( x ) , … , g T − ( x ) ) \Phi^{-}(\mathbf{x})=\left(g_{1}^{-}(\mathbf{x}), \ldots, g_{T}^{-}(\mathbf{x})\right) Φ−(x)=(g1−​(x),…,gT−​(x))
2. 在 Z \mathcal{Z} Z 空间训练出融合各种模型的模型（函数） g ~ \tilde{g} g~​ = = = AnyModel ( { ( z n , y n ) } ) \left(\left\{\left(\mathbf{z}_{n}, y_{n}\right)\right\}\right) ({(zn​,yn​)})
3. 最终的堆叠融合模型 G A N Y B ( x ) = g ~ ( Φ ( x ) ) G_{\mathrm{ANYB}}(\mathbf{x})=\tilde{g}(\Phi(\mathbf{x})) GANYB​(x)=g~​(Φ(x))。

优缺点：

• 很强大（powerful），可以完成有条件的融合（conditional blending）
• 很容易过拟合（模型复杂度过高）

应用（Blending in Practice）

在 any blending 的基础上，将原来的 g t g_t gt​ 和 G G G 结合在一起再做一次融合。

Bagging

blending : 在获取 g t g_t gt​ 之后，进行聚合;
learning : 在聚合（学习）过程中获取 g t g_t gt​。

获得多样 g t g_t gt​ 的方法有：

• diversity by different models
• diversity by different parameters: 例如优化方法GD的步长变化多样
• diversity by algorithmic randomness
• diversity by data randomness

下面便从数据出发，来满足假设函数的多样性。

那应该怎么做呢，在前面提到有共识便是一个模型的期望表现：

 consensus  g ˉ =  expected  g t  from  D t ∼ P N \text { consensus } \bar { g } = \text { expected } g _ { t } \text { from } \mathcal { D } _ { t } \sim P ^ { N }  consensus gˉ​= expected gt​ from Dt​∼PN

其优于单个的 g t g_t gt​。

其由两个部分组成，一个是无穷多个 g t g_t gt​，另一个则是丰富的样本数据。对于第一个问题这里提供有限个但相当多个 g t g_t gt​，第二个问题只能从手中的数据入手，来创造多样的样本数据集 D t \mathcal{D}_t Dt​。

拔靴法（Bootstrap Aggregation）

Bagging 实际上就是指 Bootstrap Aggregation，拔靴法实际上是从手中的数据重采样来获得仿真的 D t \mathcal{D}_t Dt​。其实现方法是：

1. 在原有的大小为 N N N 的数据集 D \mathcal{D} D 上，有放回的采样 N ′ N^\prime N′ 次获得仿真数据集 D ~ t → \tilde \mathcal{D} _ t \rightarrow D~t​→ 这一步便是 Bootstrap 操作。
2. 通过 A ( D ~ t ) \mathcal A (\tilde \mathcal{D} _ t) A(D~t​) 获取 g t g_t gt​，再使用均值融合获得： G = Uniform ⁡ ( { g t } ) G = \operatorname {Uniform}(\{g_t\}) G=Uniform({gt​})。

拔靴法（bootstrap aggregation）是一种简单的基于基算法（base algorithm A \mathcal A A）的融合算法（meta algorithm）。方法合理前提是：数据集的多样性和基算法 A \mathcal A A 对于随机数据敏感。

Adaptive Boosting

Adaptive Boosting （AdaBoost ）实际上是从 Bagging 的核心 bootstrap 出发实现的一种融合算法。具体实现如下：

加权基算法（Weighted Base Algorithm）

数据集的构造相当于对于不同样本的权重不同，也就是说重采样（Re-sample）过程相当于重赋予权重（Re-weighting）过程：

假设重采样如下：

D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) , ( x 4 , y 4 ) } ⟹  bootstrap  D ~ t = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 4 , y 4 ) } \begin{aligned} \mathcal { D } = \left\{ \left( \mathbf { x } _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , \left( \mathbf { x } _ { 2 } , y _ { 2 } \right) , \left( \mathbf { x } _ { 3 } , y _ { 3 } \right) , \left( \mathbf { x } _ { 4 } , y _ { 4 } \right) \right\} \\ \stackrel { \text { bootstrap } } { \Longrightarrow } \tilde { \mathcal { D } } _ { t } = \left\{ \left( \mathbf { x } _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , \left( \mathbf { x } _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , \left( \mathbf { x } _ { 2 } , y _ { 2 } \right) , \left( \mathbf { x } _ { 4 } , y _ { 4 } \right) \right\} \end{aligned} D={(x1​,y1​),(x2​,y2​),(x3​,y3​),(x4​,y4​)}⟹ bootstrap ​D~t​={(x1​,y1​),(x1​,y1​),(x2​,y2​),(x4​,y4​)}​

原来的误差计算如下：
E i n 0 / 1 ( h ) = 1 4 ∑ ( x , y ) ∈ D ~ t [ [ y ≠ h ( x ) ] ] E _ { \mathrm { in } } ^ { 0 / 1 } ( h ) = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { ( \mathbf { x } , y ) \in \tilde { D } _ { t } } \left[\kern-0.15em\left[ y \neq h ( \mathbf { x } ) \right]\kern-0.15em\right] Ein0/1​(h)=41​(x,y)∈D~t​∑​[[y​=h(x)]]

现在则是：

E i n u ( t ) ( h ) = 1 4 ∑ n = 1 4 u n ( t ) ⋅ [ [ y n ≠ h ( x n ) ] ] E _ { \mathrm { in } } ^ { \mathrm { u }^{(t)} } ( h ) = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n = 1 } ^ { 4 } u _ { n } ^ { ( t ) } \cdot \left[\kern-0.15em\left[ y _ { n } \neq h \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right]\kern-0.15em\right] Einu(t)​(h)=41​n=1∑4​un(t)​⋅[[yn​​=h(xn​)]]

其中 u 1 = 2 , u 2 = 1 , u 3 = 0 , u 4 = 1 u_1 = 2,u_2 = 1,u_3 = 0,u_4 = 1 u1​=2,u2​=1,u3​=0,u4​=1。

那么袋中的每一个 g t g_t gt​ 都是通过最小化加权误差（bootstrap-weighted error）获得的。

所以加权基算法（Weighted Base Algorithm）的数学表达为：

E i n u ( h ) = 1 N ∑ n = 1 N u n ⋅ err ⁡ ( y n , h ( x n ) ) E _ { \mathrm { in } } ^ { \mathrm { u } } ( h ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } \cdot \operatorname { err } \left( y _ { n } , h \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right) Einu​(h)=N1​n=1∑N​un​⋅err(yn​,h(xn​))

那么通过重新赋值获取多样的 g t g_t gt​ 是另一种可行的方法：

假如两个 g t g_t gt​ 的获取方法如下：
g t ← argmin ⁡ h ∈ H ( ∑ n = 1 N u n ( t ) [ [ y n ≠ h ( x n ) ] ] ) g t + 1 ← argmin ⁡ h ∈ H ( ∑ n = 1 N u n ( t + 1 ) [ [ y n ≠ h ( x n ) ] ] ) \begin{aligned} g _ { t } & \leftarrow \underset { h \in \mathcal { H } } { \operatorname { argmin } } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t ) } \left[ \kern-0.15em \left[ y _ { n } \neq h \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right]\kern-0.15em\right] \right) \\ g _ { t + 1 } & \leftarrow \underset { h \in \mathcal { H } } { \operatorname { argmin } } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } \left[ \kern-0.15em \left[ y _ { n } \neq h \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right]\kern-0.15em\right] \right) \end{aligned} gt​gt+1​​←h∈Hargmin​(n=1∑N​un(t)​[[yn​​=h(xn​)]])←h∈Hargmin​(n=1∑N​un(t+1)​[[yn​​=h(xn​)]])​

什么时候两个人分类器会很不一样呢？就是当 g t g_t gt​ 对于权重 u n ( t ) u _ { n } ^ { ( t ) } un(t)​ 的性能很好，但是 g t g_t gt​ 对于权重 u n ( t + 1 ) u _ { n } ^ { ( t + 1) } un(t+1)​ 的性能很差，最差的 g g g 则是随机值也就是说有 50% 的概率会预测准确。即：

∑ n = 1 N u n ( t + 1 ) [ [ y n ≠ g t ( x n ) ] ] ∑ n = 1 N u n ( t + 1 ) = 1 2 \frac {\sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } \neq g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right] } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } } = \frac { 1 } { 2 } ∑n=1N​un(t+1)​∑n=1N​un(t+1)​[[yn​​=gt​(xn​)]]​=21​

所以现在希望的效果是：

∑ n = 1 N u n ( t + 1 ) [ [ y n ≠ g t ( x n ) ] ] ∑ n = 1 N u n ( t + 1 ) = □ t + 1 □ t + 1 + ◯ t + 1 = 1 2 ,  where  □ t + 1 = ∑ n = 1 N u n ( t + 1 ) [ [ y n ≠ g t ( x n ) ] ] ◯ t + 1 = ∑ n = 1 N u n ( t + 1 ) [ [ y n = g t ( x n ) ] ] \frac {\sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } \neq g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right] } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } } = \frac { \square_ { t + 1 } } { \square_ { t + 1 } + \bigcirc_{ t + 1 } } = \frac { 1 } { 2 } , \text { where } \\ \square_ { t + 1 } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } \neq g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right]\\ \bigcirc_{ t + 1 } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } = g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right] ∑n=1N​un(t+1)​∑n=1N​un(t+1)​[[yn​​=gt​(xn​)]]​=□t+1​+◯t+1​□t+1​​=21​, where □t+1​=n=1∑N​un(t+1)​[[yn​​=gt​(xn​)]]◯t+1​=n=1∑N​un(t+1)​[[yn​=gt​(xn​)]]

那么通过重新放缩权重（re-scaling (multiplying) weights）便可以实现，即：

对于 g t g_t gt​ 分类错误的样本：

u n ( t + 1 ) = ◯ t ⋅ u n ( t ) u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } = \bigcirc_{ t } \cdot u _ { n } ^ { ( t ) } un(t+1)​=◯t​⋅un(t)​

对于 g t g_t gt​ 分类正确的样本：

u n ( t + 1 ) = □ t ⋅ u n ( t ) u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } = \square_{ t } \cdot u _ { n } ^ { ( t ) } un(t+1)​=□t​⋅un(t)​

那么在实际中如何实现呢？这里提出放缩系数。

放缩系数（Scaling Factor）

错误率 ϵ t \epsilon _ { t } ϵt​ 定义如下：
ϵ t = ∑ n = 1 N u n ( t ) [ [ y n ≠ g t ( x n ) ] ] ∑ n = 1 N u n ( t ) \epsilon _ { t } = \frac {\sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t ) } \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } \neq g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right] } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t) } } ϵt​=∑n=1N​un(t)​∑n=1N​un(t)​[[yn​​=gt​(xn​)]]​

放缩系数的定义如下：
⋆ t = 1 − ϵ t ϵ t \mathbf { \star } _ { t } = \sqrt { \frac { 1 - \epsilon _ { t } } { \epsilon _ { t } } } ⋆t​=ϵt​1−ϵt​​ ​

那么：

[ [ y n ≠ g t ( x n ) ] ] u n ( t + 1 ) ← u n ( t ) ⋅ ⋆ t [ [ y n = g t ( x n ) ] ] u n ( t + 1 ) ← u n ( t ) / ⋆ t \begin{aligned} \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } \neq g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right] \quad u ^ { ( t + 1 ) } _ n &\leftarrow u ^ { ( t ) } _ n \cdot \mathbf { \star } _ { t } \\ \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } = g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right] \quad u ^ { ( t + 1 ) } _ n &\leftarrow u ^ { ( t ) } _n / \mathbf { \star } _ { t } \end{aligned} [[yn​​=gt​(xn​)]]un(t+1)​[[yn​=gt​(xn​)]]un(t+1)​​←un(t)​⋅⋆t​←un(t)​/⋆t​​

Linear Aggregation on the Fly

有了上述的前提，便可以设计一个由数据多样化创造的融合算法，而AdaBoost 除了上述一些前提外，还有一步，那就是 Linear Aggregation on the Fly，在学习中获得线性融合的参数 α t \alpha_t αt​，即：

α t = ln ⁡ ( ⋆ t ) \alpha_t = \ln(\mathbf { \star } _ { t }) αt​=ln(⋆t​)

1. 当 ϵ t → 0 \epsilon _ { t } \rightarrow 0 ϵt​→0 时， ⋆ t → inf ⁡ , ln ⁡ ( ⋆ t ) → inf ⁡ \mathbf { \star } _ { t } \rightarrow \inf, \ln(\mathbf { \star } _ { t }) \rightarrow \inf ⋆t​→inf,ln(⋆t​)→inf，也就是说当无错误时，给予无穷权重，即当前 g t g_t gt​ 完全可以完成任务。
2. 当 ϵ t = 1 2 \epsilon _ { t } = \frac{1}{2} ϵt​=21​ 时， ⋆ t = 1 , ln ⁡ ( ⋆ t ) = 0 \mathbf { \star } _ { t } = 1, \ln(\mathbf { \star } _ { t }) = 0 ⋆t​=1,ln(⋆t​)=0也就是说当错误率为1/2时，不给予权重，即 g t g_t gt​ 与随机数的性能一样无用。
3. 当 ϵ t → 1 \epsilon _ { t } \rightarrow 1 ϵt​→1 时， ⋆ t = 0 , ln ⁡ ( ⋆ t ) → − inf ⁡ \mathbf { \star } _ { t } = 0, \ln(\mathbf { \star } _ { t }) \rightarrow -\inf ⋆t​=0,ln(⋆t​)→−inf 也就是说当全错误时，给予负无穷权重，即只需要将分类结果取反便可以获得非常高准确率的 g t g_t gt​。

AdaBoost 实现步骤

u ( 1 ) = [ 1 N , ⋯   , 1 N ] u^{(1)} = \left[\frac{1}{N},\cdots,\frac{1}{N}\right] u(1)=[N1​,⋯,N1​]
for t = 1 , ⋯   , T t = 1,\cdots,T t=1,⋯,T

1. 由 A ( D , u ( t ) ) \mathcal { A } \left( \mathcal { D } , \mathbf { u } ^ { ( t ) } \right) A(D,u(t)) 获取 g t g _ { t } gt​ ， 其中 A \mathcal { A } A 用于优化权重为 u ( t ) \mathbf { u } ^ { ( t ) } u(t) 的加权误差。

2. 由 u ( t ) \mathbf { u } ^ { ( t ) } u(t) 更新 u ( t + 1 ) \mathbf { u } ^ { ( t+1 ) } u(t+1)
   [ [ y n ≠ g t ( x n ) ] ] u n ( t + 1 ) ← u n ( t ) ⋅ ⋆ t [ [ y n = g t ( x n ) ] ] u n ( t + 1 ) ← u n ( t ) / ⋆ t \begin{aligned} \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } \neq g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right] \quad u ^ { ( t + 1 ) } _ n &\leftarrow u ^ { ( t ) } _ n \cdot \mathbf { \star } _ { t } \\ \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } = g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right] \quad u ^ { ( t + 1 ) } _ n &\leftarrow u ^ { ( t ) } _n / \mathbf { \star } _ { t } \end{aligned} [[yn​​=gt​(xn​)]]un(t+1)​[[yn​=gt​(xn​)]]un(t+1)​​←un(t)​⋅⋆t​←un(t)​/⋆t​​

   其中: ϵ t = ∑ n = 1 N u n ( t + 1 ) [ [ y n ≠ g t ( x n ) ] ] ∑ n = 1 N u n ( t + 1 ) \epsilon _ { t } = \frac {\sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } \left[ \kern-0.15em \left[y _ { n } \neq g _ { t } \left( \mathbf { x } _ { n } \right) \right] \kern-0.15em \right] } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ^ { ( t + 1 ) } } ϵt​=∑n=1N​un(t+1)​∑n=1N​un(t+1)​[[yn​​=gt​(xn​)]]​， ⋆ t = 1 − ϵ t ϵ t \mathbf { \star } _ { t } = \sqrt { \frac { 1 - \epsilon _ { t } } { \epsilon _ { t } } } ⋆t​=ϵt​1−ϵt​​ ​

3. 计算线性融合系数 α t = ln ⁡ ( ⋆ t ) \alpha_t = \ln(\mathbf { \star } _ { t }) αt​=ln(⋆t​)

4. 获得最终hypothesis： G ( x ) = sign ⁡ ( ∑ t = 1 T α t g t ( x ) ) G ( \mathbf { x } ) = \operatorname { sign } \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } \alpha _ { t } g _ { t } ( \mathbf { x } ) \right) G(x)=sign(∑t=1T​αt​gt​(x))

理论证明（Theoretical Guarantee）

AdaBoost 的 VC bound 如下：
E o u t ( G ) ≤ E i n ( G ) + O ( O ( d v c ( H ) ⋅ T log ⁡ T ) ⏟ d v c  of all possible  G ⋅ log ⁡ N N ) E _ { \mathrm { out } } ( G ) \leq E _ { \mathrm { in } } ( G ) + O ( \sqrt { \underbrace { O \left( d _ { \mathrm { vc } } ( \mathcal { H } ) \cdot T \log T \right) }_{d_{\mathbf{vc}} \text{ of all possible } G} \cdot \frac { \log N } { N } } ) Eout​(G)≤Ein​(G)+O(dvc​ of all possible G O(dvc​(H)⋅TlogT)​​⋅NlogN​ ​)

原作者有证明最多经过 T = log ⁡ ( N ) T= \log(N) T=log(N) 次迭代，便可以实现 E in ( G ) = 0 E_{\text{in}}(G) = 0 Ein​(G)=0，只要基模型比随机数性能优越即可 ϵ t ≤ ϵ < 1 2 \epsilon _ { t } \leq \epsilon < \frac { 1 } { 2 } ϵt​≤ϵ<21​。

也就是说，如果基模型 g g g 很弱（weak），但是总比随机数优秀，那么由AdaBoost + A \mathcal A A 获取的 G G G 也会很强（strong）。

决策树桩（Decision Stump）

数学表达如下：
h s , i , θ ( x ) = s ⋅ sign ⁡ ( x i − θ ) h _ { s , i , \theta } ( \mathbf { x } ) = s \cdot \operatorname { sign } \left( x _ { i } - \theta \right) hs,i,θ​(x)=s⋅sign(xi​−θ)

一共有三个参数 特征（feature） i i i，阈值（threshold） θ \theta θ ，方向（direction） s s s。其实现的功能便是一个分界点，特征（feature） i i i 表达的是在第 i i i 维的分解点，阈值（threshold） θ \theta θ 代表在本维度的分界点位于 θ \theta θ，方向（direction） s s s 代表了分界点两边的样本类型。

这是一个弱模型，但是将其作为 AdaBoost 的基模型便可以实现高精度预测了，并且效率很高，时间复杂度为： O ( d ⋅ N log ⁡ N ) O(d \cdot N \log N) O(d⋅NlogN)

若使用 Decision Stump 作为 AdaBoost 的基模型，假设一个简单的数据集如下分布：

那么其学习过程的一种状态可能如下表达：