红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
根据规则4，新增节点必须为红色；根据规则3，新增节点的父节点必须为黑。当新节点根据二叉搜索树的规则达到其插入点，却不符合上述条件，就必须调整颜色并旋转树形。
为了延续上图的状态，我们插入一些新节点，看看会发生什么变化，下面有四种不同的典型情况。
假设为图中的RB-tree分别插入3，8, 35, 75，根据二叉搜索树的规则，这四个新节点的落脚点如图所示，他们都破坏了RB-tree的规则，因此我们必须调整树形，也就是旋转树形并改变节点颜色。
如果U为红，将P和U变为黑色，G变为红色，如果GG节点（曾祖父）为黑，搞定，如果GG为红，就看情况4
如果U为红，将P和U变为黑色，G变为红色，如果GG仍为红，继续向上调整，直到不再有父子连续为红的情况
如果U为黑且C为外侧插入，对G进行单旋转，再将G变为红色，P变为黑色
如果U为黑且C为内侧插入，先对P和G进行单旋转，再将C变为黑色，G变为红色，再对G做一次单旋。
代码实现：
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
// 不为空，开始插入，取出当前节点，寻找位置
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur) {
if (cur->_kv.first > kv.first) { // 要插入的数据比该节点小，往左走
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first) {// 要插入的数据比该节点大，往右走
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else // 相同，返回失败
return false;
}
// 走到这里说明找到了要插入的位置，为要插入的数据创建一个节点
cur = new Node(kv);
// 这时需要判断插入位置，与父节点的数据比较大小
if (parent->_kv.first > kv.first)// 比父节点小，插入左边
parent->_left = cur;
else
parent->_right = cur;
// 将当前节点的_parent与父节链接
cur->_parent = parent;
// 更新颜色 -- 红色节点的左右子树只能为黑，我们默认插入的是红节点
// cur：当前节点 parent：父节点 grandfather：祖父节点 uncle：叔叔节点
while (parent && parent->_col == RED) {// 当插入节点的父节点也为红时，就需要调整了
// 情况一：cur红 parent红 grandfather黑 uncle存在且为红
// g
// p u
// c
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left) {
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED) {// uncle存在且为红
grandfather->_col = RED;
uncle->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
//更新节点，继续向上，查看是否需要更新颜色
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else {// uncle不存在/uncle为黑
// g
// p u
// c
if (cur == parent->_left) {
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else {
// g
// p u
// c
RotateL(parent);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
RotateR(grandfather);
}
break;
}
}
else { // (parent == grandfer->_right)
// g
// u p
// c
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED) { // uncle存在且为红
grandfather->_col = RED;
uncle->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
// 更新节点，继续向上，查看是否需要更新颜色
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else { // uncle不存在/uncle为黑
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right) {
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else {
// g
// u p
// c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
红黑树的检测分为两步：
首先检测根节点的颜色，根节点为红色时，不是RB-tree，然后检测是否有连续的红色节点，一个节点，它的父节点为红色时，不是RB-tree
bool _Check(Node* root, int blackNum, int benchmark)
{
if (root == nullptr)
{
if (benchmark != blackNum)
{
cout << "某条路径黑色节点的数量不相等" << endl;
return false;
}
return true;
}
if (root->_col == BLACK)
++blackNum;
if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED)
{
cout << "存在连续的红色节点" << endl;
return false;
}
return _Check(root->_left, blackNum, benchmark) && _Check(root->_right, blackNum, benchmark);
}
bool IsBalance()
{
if (_root && _root->_col == RED)
{
cout << "根节点的颜色是红色" << endl;
return false;
}
int benchmark = 0;// 黑色节点的基准值
Node* cur = _root;
while (cur) // 遍历某一条路径计数黑色节点
{
if (cur->_col == BLACK)
++benchmark;
cur = cur->_left;
}
return _Check(_root, 0, benchmark);
}
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log2 N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。