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由对称性知定点一定在x轴上_圆锥曲线解答题的经典答案：由椭圆的对称性知，定点在x轴上？...

2023-11-08

​有很多圆锥曲线综合题要研究定点问题，答案里往往有这样一句话：

由椭圆的对称性知，定点必在x轴上；或者说一句，显然定点在y轴上，看得童鞋们丈二和尚摸不着头脑.

1

读者提问

一位来自广东、昵称为“h”的高三学生这样提问：左老师好！请教一个定点问题！对任意实轴在x轴上的双曲线，不妨设右焦点为F,过F的直线与右支交于点A,B.问是否存在一个定离心率，使得以AB的圆恒过定点？此题如何看出定点在x轴上呢？(事实上就是左顶点)

2

对曲线过定点的理解

所谓曲线过定点，首先说明曲线是变化的曲线.确定的曲线就无所谓过不过定点.

变化的曲线过顶点，指的是满足要求的任意的多个曲线的公共点.

大白话说，就是不管曲线怎么变，都一定通过的点.

有了这一层理解，就可以确定定点的大致位置.

3

本题定点为什么一定在x轴上呢？

先画一个以AB为直径的圆.

以任意过焦点F的弦AB为直径作圆

再以AB关于x对称的弦A'B'为直径作圆.

两圆关于x轴对称

设M为AB的中点，M'是A'B'的中点，则M与M'关于x轴对称.

因为圆M的圆心和圆M'的圆心关于x轴对称，而且半径相等，所以两圆的公共点必在x轴上.

所以，如果这个运动的圆过定点

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由对称性知定点一定在x轴上

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