有一个有向图，每一个点都有一个权值（可以为正或负或0），选择一个权值和最大的子图，使得每个点的后继都在子图里面，这个子图就叫最大权闭合子图。
能选的子图有Ø,{4},{3,4},{2,4},{1,2,3,4},它们的权值分别为0,-1,5,-6,4.
所以最大权闭合子图为{3,4}，权值为5.
建立超级源点s，超级汇点t。
所有点权为正数的点i，建边 s->i，容量为点权。
所有点权为负数的点i，建边i->t，容量为点权绝对值。
原图建图后，边容量均为正无穷。
最大权闭合图的权值 = 正权点之和 - (s->t)最大流
源点s可以理解为最大可获得的权值（即正权点之和）
汇点t可以理解为最大的会损失的权值（负权点之和）
首先我们来说一下把s和i这条边割掉的意义：s到i这条边象征着i这个点，如果割掉表示不选这个点把i和T边割掉表示选这个点因为最小割的意义就是割掉尽量小的边始得T和S不连通
首先引入结论，最小割所产生的两个集合中，其源点S所在集合(除去S)为最大权闭合图，接下来我们来说明一些结论。
引入一下简单割的概念：割集的每条边都与S或T关联。(请下面阅读时一定分清最小割与简单割，容易混淆)
第一步
1)证明:最小割为简单割
那么为什么最小割是简单割呢？因为除S和T之外的点间的边的容量是正无穷，最小割的容量不可能为正无穷。所以割边一定和S和T相连，得证。
第二步
2)证明：网络中的简单割与原图中闭合图存在一一对应的关系。(即所有闭合图都是简单割，简单割也必定是一个闭合图)。也就是证明新图和原图之间的关系
1.证明闭合图是简单割(话句话说就是原图中构成闭合图的那些点是直接和S和T相连的)：很明显我们建图本身就是直接把点连线到S和T，在S和T连向内部每一个点的每一条边都象征这一个点的是否选取
举个例子：
假如说我们选择3->4这个闭合图相当于保留s->3并且割掉4->t这条边，保留2->t,割掉S->1.同理其他闭合图也是一样
2.证明简单割是闭合图：首先你要明确我们是在新图上求最小割始得S到T不连通，而且割边只能是简单割，那么假如说我们保留了s到i的某一条边那么为了达到不连通i后继那些j点和T相连的就要割掉（因为不可能割掉i -> j因为其容量为INF）那么通过上面讲每个简单割的意义这里就可以转化成如果选了i这个点i的后继全部都要选上（满足闭合图的概念）
举个例子：
假如我们保留s->1这条边那么按道理3，2，4这几个点要被保留那么我们要把2->t和4->t这两条边割掉，那么S->3保留，你就会问会不会求解过程把S->3割掉那，你要明白这是最小割S->3这条边对于联通性已经没有影响了，而且这是正权边所以最小割一定不会去割掉这条边
第三步：
证明最小割所产生的两个集合中，其源点S所在集合(除去S)为最大权闭合图。
首先我们记一个简单割的容量为C,且S所在集合为N，T所在集合为M。
则C=M中所有权值为正的点的权值(即S与M中点相连的边的容量)+N中所有权值为负的点权值的绝对值(即N中点与T中点相连边的容量)。记(C=x1+y1);(很好理解，不理解画一个图或想象一下就明白了)
我们记N这个闭合图的权值和为W。
则W=N中权值为正的点的权值-N中权值为负的点的权值的绝对值。记(W=x2-y2);
则W+C=x1+y1+x2-y2。
因为明显y1=y2，所以W+C=x1+x2;
x1为M中所有权值为正的点的权值，x2为N中权值为正的点的权值。
所以x1+x2=所有权值为正的点的权值之和(记为tot).
所以我们得到W+C= tot.整理一下 W = tot-C.
到这里我们就得到了闭合图的权值与简单割的容量的关系。
因为tot为定值，所以我们欲使W最大，即C最小，即此时这个简单割为最小割，此时闭合图为其源点S所在集合(除去S)。得证。
至此，我们就将最大权闭合图问题转化为了求最小割的问题。求最小割用最小割容量=最大流，即可将问题转化为求最大流的问题。
