更严谨的来说，每个矩阵对应一个加权二分图。
所谓图是指点和线的集合，二分是指两种不同的类型，加权是指每条线上都有一个数字标记。
上图的三个绿点代表三行，两个红点代表两列，若对应矩阵值非零，则在绿点和红点间画一条线连接。
任何矩阵 M 都是 n×m 个数的数组。但是这样的数组也可以看作函数 M：X×Y→R，其中 X = {x_1，…，x_n}，是一组 n 个元素组成的集合；Y = {y_1，…，y_m}，是一组 m 个元素组成的集合。实际上，如果要描述矩阵 M，那么需要描述第 ij 项的值。换句话说，对于每对 (i,j)，都需要给出一个实数 M_ij。函数 M：X×Y→R 关联每对 (x_i,y_j)（如果愿意，可以去掉字母并将其看作 (i,j)），即实数 M(x_i,y_j)。所以可以将 M(x_i,y_j) 简写为 M_ij。因此，矩阵就是一种函数。
如果一个矩阵等于它的转置，即为对称矩阵。
下图可解释为什么MMT和MTM永远对称。
如果一个矩阵的所有元素都不为零，那么它对应的图就没有缺失的连线。这意味着 X 中的每个点都与 Y 的每个点相连。这样的二分图称为完全二分图。
具体来说，由直和得到的分块矩阵对应断开的图。将两个矩阵做直和运算得到更大的数组（与向量直和运算类似），即一个带有全零块的大型分块矩阵。分块矩阵的图通过将原矩阵的图叠加得到。
这样的概率分布图可以更好的分析！
通过架构图中的连线，可以得到联合概率：(x_i,y_j) 的概率是连接 x,y 两点的线的标签。
边缘概率是通过沿矩阵的行/列求和得到的（与上图等效）。例如，x_1 的概率 p(x_1)=p(x_1,y_1)+p(x_1,y_2)=1/8+0，这是第一行的总和。同样，y_2 的概率是 p(y_2)=p(x_1,y_2)+p(x_2,y_2)+p(x_3,y_2)=0+1/8+1/4，是第二列的和。
图中，x_i 的边缘概率是以 x_i 为顶点的所有连线的和。类似地，y_j 的边缘概率是以 y_j 为顶点的所有连线的和。
条件概率是由联合概率除以边缘概率得到的。例如在 y_2 条件下 x_3 的概率 p(x_3|y_2)=p(x_3,y_2)/p(y_2)。从图中可以看出，这是通过将 x_3 和 y_2 的连线除以所有与 y_2 相连的线之和得到的。同样，y_i 下 x_j 的条件概率是两点连线的值除以所有与 x_j 相连的线之和。
矩阵运算在交换环（communicative ring）上是有意义的。不仅仅是像 R 或 C 等。矩阵相乘甚至不需要负数：矩阵运算在交换半环上是有意义的！（半环是一个没有相反数的环。）
因为包含两个元素 Z_2 = {0,1} 的集合通过下图的加法和乘法形成一个半环：
因为一个矩阵 M:X×Y→Z_2 相当于一个「关系」。「关系」是笛卡尔积 X×Y 的子集 R 的名称。换句话说，每个 Z_2-valued 矩阵定义了一个「关系」，每个关系又定义了一个 Z_2-valued 矩阵：当且仅当 (x_i,y_j) 是 R 子集的元素时，M_ij=1，否则 M_ij=0。
Z_2 中的矩阵图与上面讨论的图完全相同，只是现在所有连线的值都是 0 或 1。如果权重是 0，那和之前一样。
通过将基础（半）环从 R 改为 Z_2，改变了解释权重的方式。例如，在上面的概率场景中，「从 x_1 到 y_1 的概率是多少？」答案由对应边的权重而来，在本例中为 12.5％。或者，当矩阵在 Z_2 中取值时，问题变为：「是否可能从 x_1 到 y_1？」如果连线标记为 1，则为「是」，如果标记为 0 则为「否」。
重要的是，「关系」的组合恰好是使用了上面的 Z_2 算法的矩阵乘法。换句话说，给定任意两个关系 R⊂X×Y 和 S⊂Y×Z，存在一个新关系 SR⊂X×Z，包括所有 (x,z)，至少存在一个 y∈Y，其中 (x,y)∈R，(y,z)∈S。这种新关系正是表示 R 和 S 的矩阵乘积所指定的。
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