线性代数的深入理解

线性代数笔记

关于矩阵理解

reference：
矩阵理解
图片来源：b站上的教程

线性变换

1. 所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁
2. 矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。

比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。

同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。 换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系就是相似：

A = P − 1 B P A=P^{-1}BP A=P−1BP

那么重新来理解一下 $ Ma=b $ 等价于 M a = I b Ma=Ib Ma=Ib ，意思是说***在M坐标系里表示出来的向量a，跟在I坐标系里表示出来的向量b，其实根本就是一个向量！***

矩阵和向量的相乘，就是一个线性变换。假设 i ^ = [ 1 0 ] , j ^ = [ 0 1 ] \hat{i}=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right], \hat{j}=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right] i^=[10​],j^​=[01​]

是最开始的基向量，假设经过旋转变换，那么 i ′ = [ 0 1 ] , j ′ = [ − 1 0 ] i'=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right], j'=\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right] i′=[01​],j′=[−10​]
I = [ i ^ j ^ ] = [ 1 0 0 1 ] , M = [ i ′ j ′ ] = [ 0 − 1 1 0 ] , a = [ 1 1 ] , b = [ − 1 1 ] I= \left[ \begin{array}{cc} \hat{i} & \hat{j} \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right], M= \left[ \begin{array}{cc} i' & j' \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right], a= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right], b= \left[ \begin{array}{cc} -1\\1 \end{array} \right] I=[i^​j^​​]=[10​01​],M=[i′