柯西不等式证明
柯西不等式，是形式如下的不等式
(
∑
a
i
2
)
(
∑
b
i
2
)
≥
(
∑
a
i
b
i
)
2
(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\ge(\sum a_i b_i)^2
(∑ai2)(∑bi2)≥(∑aibi)2
这里来讲一下最简单的证明方式——利用二次函数
先构造这样一个二次函数
1
)
f
(
x
)
=
∑
(
a
i
x
+
b
i
)
2
1)\ f(x)=\sum (a_ix+b_i)^2
1) f(x)=∑(aix+bi)2
然后拆开，合并同类项，得
2
)
f
(
x
)
=
(
∑
a
i
)
x
2
+
2
(
∑
a
i
b
i
)
x
+
(
∑
b
i
2
)
2)\ f(x)=(\sum a_i)x^2+2(\sum a_ib_i)x+(\sum b_i^2)
2) f(x)=(∑ai)x2+2(∑aibi)x+(∑bi2)
由
1
)
1)
1) 得
f
(
x
)
≥
0
f(x)\ge0
f(x)≥0
所以
Δ
≤
0
\Delta\le0
Δ≤0
又因为
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
4
(
∑
a
i
b
i
)
−
4
(
∑
a
i
)
(
∑
b
i
)
\Delta=b^2-4ac=4(\sum a_ib_i)-4(\sum a_i)(\sum b_i)
Δ=b2−4ac=4(∑aibi)−4(∑ai)(∑bi)
所以可得
4
(
∑
a
i
b
i
)
−
4
(
∑
a
i
)
(
∑
b
i
)
≤
0
4(\sum a_ib_i)-4(\sum a_i)(\sum b_i)\le0
4(∑aibi)−4(∑ai)(∑bi)≤0
化简得：
(
∑
a
i
2
)
(
∑
b
i
2
)
≥
(
∑
a
i
b
i
)
2
(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\ge(\sum a_i b_i)^2
(∑ai2)(∑bi2)≥(∑aibi)2
Q
.
E
.
D
Q.E.D
Q.E.D
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