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转置矩阵（Transpose of a matrix）

2023-11-10

定义

给定一个矩阵 A，将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，记为 A^T, A^{tr}, A^'，。转置矩阵的行列式不变，即 \left \| A \right \|=det|A|=det|A^T|。转置矩阵由下列动作建立：

  • 将 A 的横行写为 A^T 的纵列；
  • 将 A 的纵列写成 A^T 的横行。

形式来说，m*n 矩阵 A 的转置矩阵是 n*m 矩阵，即A^{T}_{ij}=A_{ji} \quad for 1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m.

例子

  • \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{bmatrix}
  • \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}

性质

(A^T)^T\equiv A。转置是自身的逆运算。

(A+B)^T=A^T+B^T。转置是从 m*n 矩阵的向量空间到所有 n*m 矩阵的向量空间的线性映射。

(AB)^T=B^TA^T。

(cA)^T=cA^T。标量的转置是同样的标量。

det(A^T)=det(A)。矩阵的转置矩阵的行列式等于矩阵的行列式。

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方阵称为对称矩阵。也就是说 A 是对称的，如果 A^T=A。

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵称为正交矩阵。也就是说 G 是正交的，如果 GG^T=G^TG=I_{n}。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵称为斜对称矩阵。也就是说 A 是斜对称的，如果 A^T=-A。

复数矩阵 A 的共轭转置，写为 A^H，是 A 的转置后再取每个元素的共轭复数。也就是说 A^H=(\overline{A})^T=\overline{(A)^T}。

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笔记

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