高斯函数：是一种常见的连续函数，通常用符号 G ( x ) G(x) G(x) 表示。它可以用下面的公式定义
G ( x ) = 1 σ 2 π e − x 2 2 σ 2 G(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{ 2\pi }}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}} G(x)=σ2π 1e−2σ2x2
其中， x x x 是自变量， σ \sigma σ 是一个正实数，表示高斯函数的标准差。高斯函数具有以下性质：
以下是高斯函数和其一阶导数形式
以下是高斯函数二阶导数形式
LOG算子：Marr用高斯函数先对图像作平滑，然后用拉普拉斯算子检测边缘，简称LOG滤波器
LoG ( x , y ) = 1 π σ 4 [ 1 − x 2 + y 2 2 σ 2 ] e − x 2 + y 2 2 σ 2 \operatorname{LoG}(x, y)=\frac{1}{\pi \sigma^{4}}\left[1-\frac{x^{2}+y^{2}}{2 \sigma^{2}}\right] e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2 \sigma^{2}}} LoG(x,y)=πσ41[1−2σ2x2+y2]e−2σ2x2+y2
LOG算子可以看作是将高斯函数和拉普拉斯算子（即二阶导数算子）结合在一起，因此它的输出是原始图像的拉普拉斯变换与高斯滤波的结果。它可以用来检测图像中的边缘和角点等特征。将 g g g与图像函数 f f f卷积，得到一个平滑的图像函数，对该函数做拉普拉斯运算，提取边缘
可以证明
∇ 2 [ f ( x , y ) ∗ g ( x , y ) ] = f ( x , y ) ∗ ∇ 2 g ( x , y ) \nabla^{2}[f(x, y) * g(x, y)]=f(x, y) * \nabla^{2} g(x, y) ∇2[f(x,y)∗g(x,y)]=f(x,y)∗∇2g(x,y)
∇ 2 g ( x , y ) = ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 1 π σ 4 ( x 2 + y 2 2 σ 2 − 1 ) exp ( − x 2 + y 2 2 σ 2 ) \nabla^{2} g(x, y)=\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=\frac{1}{\pi \sigma^{4}}\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2 \sigma^{2}}-1\right) \exp \left(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) ∇2g(x,y)=∂x2∂2g+∂y2∂2g=πσ41(2σ2x2+y2−1)exp(−2σ2x2+y2)
∇ 2 g ( x , y ) \nabla^{2}g(x,y) ∇2g(x,y)为LOG滤波器，也称为Marr-Hildrech算子
LOG算子的形状如下图所示
滤波器的大小由 σ \sigma σ的数值或等价地由 ω 2 D \omega_{2D} ω2D的数值来确定。为了不使函数被过分地截短，应在足够大的窗口内作计算，窗口宽度通常取为 ω ≥ 3.6 ω 2 D \omega \geq 3.6\omega_{2D} ω≥3.6ω2D
当
σ
\sigma
σ取不同值时，对应不同模板
matlab实现：
Image=im2double(rgb2gray(imread('lotus.jpg')));
figure,imshow(Image),title('原图像');
H=fspecial('laplacian',0);
R=imfilter(Image,H);
edgeImage=abs(R);
figure,imshow(edgeImage),title('Laplacian梯度图像');
H1=[0 -1 0;-1 5 -1;0 -1 0];
sharpImage=imfilter(Image,H1);
figure,imshow(sharpImage),title('Laplacian锐化图像');
Python实现：
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# 读入图像
Image = cv2.imread('lotus.jpg')
Image = cv2.cvtColor(Image, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
Image = Image.astype(np.float64) / 255.0
# 显示原图像
plt.imshow(Image, cmap='gray')
plt.title('原图像')
plt.show()
# 计算Laplacian梯度图像
H = np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]], dtype=np.float64)
R = cv2.filter2D(Image, -1, H)
edgeImage = np.abs(R)
# 显示Laplacian梯度图像
plt.imshow(edgeImage, cmap='gray')
plt.title('Laplacian梯度图像')
plt.show()
# 计算Laplacian锐化图像
H1 = np.array([[0, -1, 0], [-1, 5, -1], [0, -1, 0]], dtype=np.float64)
sharpImage = cv2.filter2D(Image, -1, H1)
# 显示Laplacian锐化图像
plt.imshow(sharpImage, cmap='gray')
plt.title('Laplacian锐化图像')
plt.show()
最优边缘检测：是指在所有边缘检测算法中，能够获得最佳边缘检测结果的算法。然而，没有一种边缘检测算法能够在所有情况下都表现最优，因为不同的算法适用于不同类型的图像和不同的应用场景。因此，我们需要根据具体情况选择最适合的边缘检测算法。最优边缘检测的三个主要评价标准
Canny算子：是一种广泛使用的边缘检测算法，由John Canny在1986年提出。它可以检测出具有低误差率和高定位精度的边缘，并被认为是目前最优秀的边缘检测算法之一。算法步骤如下
Canny算子的优点在于，它具有良好的边缘连接性、单一响应和低误差率。缺点在于计算量较大。此外，Canny算子对参数的选择非常敏感，需要根据具体应用场景进行调整
matlab实现：
Image=im2double(rgb2gray(imread('lotus.jpg')));
figure,imshow(Image),title('原图像');
BW= edge(Image,'canny');
figure,imshow(BW),title('Canny边缘检测');
Python实现：
Image=im2double(rgb2gray(imread('lotus.jpg')));
figure,imshow(Image),title('原图像');
BW= edge(Image,'canny');
figure,imshow(BW),title('Canny边缘检测');