关于2的补码

from : http://www.ruanyifeng.com/blog/2009/08/twos_complement.html

问一个基本的问题。
负数在计算机中如何表示？
举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？
很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。
但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码（Two's Complement）表示负数。
什么是2的补码？
它是一种数值的转换方法，要分二步完成：
第一步，除了符号位每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是11110111。
第二步，将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。
所以，00001000的2的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。
不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？
昨天，我在一本书里又看到了这个问题，然后就花了一点时间到网上找资料，现在总算彻底搞明白了。
2的补码的好处
首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。
2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。
还是以-8作为例子。
假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？
随便写一个计算式，16 + (-8) = ?
16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：
　０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
　１００１１０００
可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。
现在，再来看2的补码表示法。
　０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００
可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。
2的补码的本质
在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。
要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。
已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：
　００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。
所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１１０００
进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：
　１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
　１１１１１０００
2的补码的两个转换步骤就是这么来的。
为什么正数加法适用于2的补码？
实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。
Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：
X + (11111111-Y) + 1
我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1
接下来，分成两种情况讨论。
第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用2的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以，
Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y
第二种情况，如果X大于Y，这意味着Z肯定大于11111111，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，
Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y
这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。
（完）
文档信息
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原文网址：http://www.ruanyifeng.com/blog/2009/08/twos_complement.html
最后修改时间：2013年4月 1日 21:32
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留言（29条）
Harvey 说：
受教了，谢谢。
2009年8月 5日 17:49 | 档案 | 引用
daryl 说：
Two's Complement 可不能翻译成“二进制补码”，而是“2的补码”。
同样还可以有其他的补码，比如UDP checksum用"1的补码”.
2009年8月 5日 18:38 | 档案 | 引用
xifs 说：
呵呵..这个以前在数电中学过..基本上忘记了..
看到这个又回忆起来了..受教..
2009年8月 5日 19:40 | 档案 | 引用
双木舟 说：
写得很不错，长进了：）
2009年8月 5日 19:47 | 档案 | 引用
dylanklc 说：
记得数字电路有超前进位加法计算器的设计于实现……
当年实验室就数字电路还有点意思是凭着兴趣没日没夜的做实验……
现在都快忘光了。
2009年8月 5日 20:27 | 档案 | 引用
Ruan YiFeng 说：
引用daryl的发言：
Two's Complement 可不能翻译成“二进制补码”，而是“2的补码”。
同样还可以有其他的补码，比如UDP checksum用"1的补码”.
多谢指出。确实是你说的对，我没有仔细考虑译名，现在已经改过来了。
唉，像我这样的非专业人士与专业人士的差距就在这里，对一些基础概念和基础术语把握不好。
2009年8月 5日 20:37 | 档案 | 引用
Hoyou 说：
谢谢，以前一直对为什么用补码很疑惑，现在明白了
2009年8月 5日 21:58 | 档案 | 引用
11 说：
谢谢，现在明白了，以前看计算机原理的书一直没有弄懂这个是怎么回事。
2009年8月 5日 23:21 | 档案 | 引用
issac 说：
乘法其实是加法, 除法其实是减法, 减法其实也是加法, 所以到最后,我们只需要设计加法的电路就够了
2009年8月 6日 01:03 | 档案 | 引用
iceberg 说：
2的补码差强人意，二补数更准确（见维基百科）。不过补码专门用来指关于二的补数，所以直接说补码也可，2的补码显得不通。
2009年8月 6日 01:10 | 档案 | 引用
sphinux 说：
感谢能有这样清楚明白的文章，比计算机专业解释的要好，因为简明扼要而又说清楚本质。问题是国内的教材里不会告诉你为什么，也没有兴趣去引导你发现为什么，总是先整一堆定义和定理，强行让人接受，再去应用到考试里，就这种态度和做法，首先就把很多潜在的兴趣和天份扼杀了
2009年8月 6日 01:28 | 档案 | 引用
yxsongbo 说：
这个世界上要是能多找到一些这样的文章就好了！
2009年8月 6日 12:57 | 档案 | 引用
yxsongbo 说：
阮兄的专业是经济学，可是为什么会花那么多时间来研究计算机的基本常识呢？
2009年8月 6日 13:04 | 档案 | 引用
FreeWater 说：
Z = X + (11111111-Y) + 1式子可以写为Z = X - Y +100000000，这在硬件上可以理解为两部分电路来实现，第一部分是前面的X - Y（这里姑且不管计算的结果是正还是负），第二部分是X - Y计算的结果再和100000000相加，最终得到计算的结果Z, 而在8位的计算机上100000000是不能出现的，其实这时100000000就相当于00000000（舍去了最高位），然后我们再看一些计算的过程：
Z = X + （11111111 - Y) + 1
= X - Y + 100000000
= X - Y + 00000000
= X - Y
证毕。
这样我们就证明了X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成，而不必分两种情况来证明。
2009年8月 6日 14:51 | 档案 | 引用
Ruan YiFeng 说：
引用FreeWater的发言：
这样我们就证明了X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成，而不必分两种情况来证明。
你的证明比我好，我想得太复杂了，没想到还有简单证法。
引用iceberg的发言：
2的补码差强人意，二补数更准确（见维基百科）。2的补码显得不通。
好像确实是“二补数”的译法比较好，但是还存在One's Complement、Nine's Complement等等术语，都这么翻译，也蛮奇怪的。不过，Two's Complement这个英文词本身就很费解。
2009年8月 6日 19:26 | 档案 | 引用
半就业 说：
引用daryl的发言：
Two's Complement 可不能翻译成“二进制补码”，而是“2的补码”。同样还可以有其他的补码，比如UDP checksum用"1的补码”.
我网上去查查，看来课堂上被误导了。
2009年8月 6日 23:12 | 档案 | 引用
半就业 说：
原来没被误导只是说法不同，这里有个介绍：
http://www.zjidea.com/blog/article/electron/2009-05-24-1.htm
1的补码，2的补码这种说法真的不常见
2009年8月 6日 23:25 | 档案 | 引用
无业 说：
引用sphinux的发言：
感谢能有这样清楚明白的文章，比计算机专业解释的要好，因为简明扼要而又说清楚本质。问题是国内的教材里不会告诉你为什么，也没有兴趣去引导你发现为什么，总是先整一堆定义和定理，强行让人接受，再去应用到考试里，就这种态度和做法，首先就把很多潜在的兴趣和天份扼杀了

没有错，但是也没有阻止你去弄明白
2009年8月 7日 18:11 | 档案 | 引用
wanghsiaodong 说：
为什么会有补码？
在十进制中，如果最高位两位，那么(N - 25) 与 (N + 75)再去掉溢出位，结果是一样的。
在我们古老的哲学思想中，9为至，多过9就是溢则损，损多少呢，损了与75互补的一个数。所以如果N是26，就最多只能加73，加了74就没了，加75就变负的了。
补码的计算？
二进制：由于是二元的，求反加1就直接等于补码，不但步数是确定的，而且只要两步。
十进制：如果从1开始，那么到溢出就要加9，如果步长确定，步数就不确定，如果步数确定，步长就不确定。所以无法用统一的方式达成25到75的转换。
2009年8月 8日 23:02 | 档案 | 引用
shark 说：
　　首先感谢阮大详细的说明，这东西我都已经忘记很久了……-_-|||
引用sphinux的发言：
感谢能有这样清楚明白的文章，比计算机专业解释的要好，因为简明扼要而又说清楚本质。问题是国内的教材里不会告诉你为什么，也没有兴趣去引导你发现为什么，总是先整一堆定义和定理，强行让人接受，再去应用到考试里，就这种态度和做法，首先就把很多潜在的兴趣和天份扼杀了
　　………………………………
　　有没有搞错，我只看过2本（随便挑了市面上最流行销量最好的的）C/C++语言教程，它们的第一章都会讲下数据的类型，基本内容什么的。
　　关于2的补码（哎呀不记得书里叫什么了）亦有很详细的解释，阮大讲到的内容其实都有写到，只是并非像阮大这样单独列出，而是在数据存储方式的负数存储里面提到。好像除了运算方便，还有一个避开长数据的单字节和双字节数据存储的冲突问题吧（实在记不清了）
　　sphinux同志，您看像我这样的只是为了考二级证才去学的人也记得有这么个东西，并且我觉得很简明扼要啊，本质也说得很清楚不会给我这个电白造成理解障碍…………我说您至于这么抵毁“国内的教材”嘛！！
2009年8月14日 21:26 | 档案 | 引用
TOM 说：
感谢！
2009年8月22日 09:55 | 档案 | 引用
Sean 说：
表示正负的和1参0加运算吗？结果的符号怎么判断
2009年9月 3日 13:13 | 档案 | 引用
winxie 说：
感谢解惑，不过这个标题是否可以改改：关于２进制补码表示法
2009年10月 8日 11:00 | 档案 | 引用
hshqcn 说：
《编码的奥秘》中的第13章有详细的解释。
2010年3月 2日 14:39 | 档案 | 引用
bluebear720 说：
我的资料里有二元补码、一元补码这样的翻译！
2010年10月 4日 12:00 | 档案 | 引用
纳米黑客 说：
补码还有个重要的用处就是避免0有两种表示方式吧- -
2011年8月10日 16:52 | 档案 | 引用
meltedmetal 说：
“补码”的百度百科中，提到‘模’的概念，其中时钟的例子，有助于感性的理解。
2011年12月31日 11:55 | 档案 | 引用
bzz 说：
00001000的2的补码就是11111000
-------------------------------
00001000的2的补码就是00001000
2012年6月16日 10:32 | 档案 | 引用
vavio99 说：
引用bzz的发言：
00001000的2的补码就是11111000
-------------------------------
00001000的2的补码就是00001000
恩 正数的原码,补码,反码是一样的
"第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是11110111。"
这个也不对,符号位是不变的
比如"-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。" 是这么计算的
原码 10001000
反码 11110111
补码 11111000
这样计算才与引号的中的描述相一致;