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s域和z域变换笔记

2023-05-16

连续函数

1、常见信号的拉普拉斯变换：

脉冲信号

δ（t）------------1

阶跃信号

μ（t）-------------   \frac{1}{s}

斜坡信号

t  ------------------  \frac{1}{s^{2}}

加速度信号

\frac{1}{2}t^{2}----------------\frac{1}{s^{3}}

指数类信号

e^{at}   ---------------    \frac{1}{s -a}

正弦类信号

cos(wt)  ------------   \frac{s}{s^{2} +w^{2}}

sin(wt)  -------------  \frac{w}{s^{2} +w^{2}} 

2、拉普拉斯变换性质：

线性性质

ax1(t)+bx2(t) ------ aX1(s)+bX2(s)

时移性质

x(t-t0) ----------  e^{-st0}X(s)

展缩特性

x(at) -----------  \frac{1}{a}X(\frac{s}{a})

卷积特性

x1(t)*x2(t) ----------- X1(s)X2(s)

乘积特性

x1(t)x2(t) ----------      \frac{1}{2pij}[X1(s)*X2(s)]

指数加权特性

e^{-at}x(t)  ------------     X(s+a)

线性加权特性

tx(t) --------------   \frac{dX(s)}{ds}

微分特性

\frac{dx(t)}{dt}   ------------------     sX(s)-x(0)

使用微分性质的嵌套重复

\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}   -------------------     s(sX(s)-x(0))-x(0)'

一般形式

\frac{d^{n}x(t)}{dt^{n}}   ---------------------   s^{n}X(s)+s^{n-1}x(0)+......+s^{0}\frac{d^{n-1}x(t)}{dt^{n-1}}|t=0

积分特性

\int_{a}^{b}x(t)dt   ---------------------   \frac{X(s)}{s}+\frac{x^{(-1)}(0)}{s}

同样可推导出嵌套性质，此处省略

拉氏变换的初值定理和终值定理:

\lim_{t->0_{+}}x(t)=\lim_{s->\propto }sX(s)

\lim_{t->\propto }x(t)=\lim_{s->0_{+} }sX(s)

3、拉普拉斯反变换

留数法

略

部分分式法

如果为有理假分式，则化为有理真分式

如果分母有多重根，则该部分从最高次展到最低次，其他部分照常。

 

离散序列

1、常见序列的z变换

单位脉冲序列

δ[k]  ------------   1

单位阶跃序列

μ[k]  -------------  \frac{z}{z-1}

kμ[k]  ------------   \frac{z}{(z-1)^{2}}

指数序列

a^{k}u[k]  -----------  \frac{z}{z-a}

ka^{k}u[k]  -------------   \frac{az}{(z-a)^{2}}

2、z变换的性质

线性性质

ax1[k]+bx2[k]  ----------------  aX1(z)+bX2(z)

位移性质

x[k-n]u[k-n]  ----------------  z^{-n}X(z)

卷积性质

x1[k]u[k]*x2[k]u[k]  -----------------------  X1(z)X2(z)

指数加权性质

a^{k}x[k]u[k]  -----------------------  X(\frac{z}{a})

线性加权性质

kx[k]u[k]  -----------------------  -z\frac{dX(z)}{dz}

3、z反变换

幂级数展开法

分子除以分母，使用长除法，可得到关于z的幂级数

留数法

略

部分分式法

如果为有理假分式，则化为有理真分式

如果分母有多重根，则该部分从最高次展到最低次，其他部分照常。

 

 

 

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