泰勒定理
泰勒展开是一个很有趣的方法。应该大部分人都看过下面这么一条定理:
泰勒定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在开区间(a,b)内存在(n+1)阶导函数,则对任意给定的
x,x0∈[a,b]
x
,
x
0
∈
[
a
,
b
]
,至少存在一点
ξ∈(a,b)
ξ
∈
(
a
,
b
)
,使得
f(x)=+f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+f ′′(x0)2!(x−x0)2+⋯f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
f
″
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
+
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
+
1
他的原理也很简单,那就是,当两个函数接近的时候,那么他们在某个点的值肯定相等:
f(0)=g(0)
f
(
0
)
=
g
(
0
)
,
他们的一阶导数在一点上也应该相等
f′(0)=g′(0)
f
′
(
0
)
=
g
′
(
0
)
,
二阶导数也应该相等
f′′(0)=g′′(0)
f
″
(
0
)
=
g
″
(
0
)
,如此类推。。
那么我们能不能用一个多项式函数去逼近这么一个函数呢?而答案正是泰勒展开。
举个例子,假设f(x)是你想逼近的函数,g(x)则是它的二阶泰勒逼近,即:
g(x)=f(0)+f′(0)(x−0)+f′′(0)2(x−0)2
g
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
(
x
−
0
)
+
f
″
(
0
)
2
(
x
−
0
)
2
,
于是显然有: g(0)=f(0)。g(x)对x求导:
g′(x)g′′(x)=f′(0)+f′′(0)(x−0)=f′′(0)(185)(186)
(185)
g
′
(
x
)
=
f
′
(
0
)
+
f
″
(
0
)
(
x
−
0
)
(186)
g
″
(
x
)
=
f
″
(
0
)
因此
g′(0)=f′(0)
g
′
(
0
)
=
f
′
(
0
)
,
g′′(0)=f′′(0)
g
″
(
0
)
=
f
″
(
0
)
当级数趋于无穷的时候就能近似任意的函数了。
盗个图:
f(x+y)≈f(x)+f′(ξ)y
f
(
x
+
y
)
≈
f
(
x
)
+
f
′
(
ξ
)
y
多元函数的泰勒展开
多元函数的泰勒近似的原理也是类似的,只不过在多元函数中,我们要求的两个函数值相同,变成了有多个点:
f(a,b)=g(a,b)
f
(
a
,
b
)
=
g
(
a
,
b
)
,
Df(a,b)=Dg(a,b)
D
f
(
a
,
b
)
=
D
g
(
a
,
b
)
,
Hf(a,b)=Hg(a,b)
H
f
(
a
,
b
)
=
H
g
(
a
,
b
)
,这里的Df(a,b)是导数矩阵,Hf(a,b)是黑塞矩阵(二阶导),于是多元函数的泰勒展开公式就变成:
f(x)≈f(a)+Df(a)(x−a)+12(x−a)THf(a)(x−a).
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
D
f
(
a
)
(
x
−
a
)
+
1
2
(
x
−
a
)
T
H
f
(
a
)
(
x
−
a
)
.
其中
Df(a,b)=[∂fx1(a,b),∂fx2(a,b)].
D
f
(
a
,
b
)
=
[
∂
f
x
1
(
a
,
b
)
,
∂
f
x
2
(
a
,
b
)
]
.
Hf=⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂2f∂x21(a,b)∂2f∂x2 ∂x1(a,b)∂2f∂x1 ∂x2(a,b)∂2f∂x22(a,b)⎤⎦⎥⎥⎥⎥
H
f
=
[
∂
2
f
∂
x
1
2
(
a
,
b
)
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
(
a
,
b
)
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
1
(
a
,
b
)
∂
2
f
∂
x
2
2
(
a
,
b
)
]
举个例子,一个二元函数f(x,y)在点(a,b)上的的泰勒展开式为:
f(x,y)≈+=++f(a,b)+[∂fx(a,b),∂fy(a,b)][x−ay−b]12[x−ay−b]⎡⎣⎢⎢⎢∂2f∂x2(a,b)∂2f∂y ∂x(a,b)∂2f∂x ∂y(a,b)∂2f∂y2(a,b)⎤⎦⎥⎥⎥[x−ay−b]f(a,b)+(x−a)f′x(a,b)+(y−b)f′y(a,b)12!(x−a)2f′′xx(a,b)+12!(x−a)(y−b)f′′xy(a,b)12!(x−a)(y−b)f′′yx(a,b)+12!(y−b)2f′′yy(a,b)
f
(
x
,
y
)
≈
f
(
a
,
b
)
+
[
∂
f
x
(
a
,
b
)
,
∂
f
y
(
a
,
b
)
]
[
x
−
a
y
−
b
]
+
1
2
[
x
−
a
y
−
b
]
[
∂
2
f
∂
x
2
(
a
,
b
)
∂
2
f
∂
x
∂
y
(
a
,
b
)
∂
2
f
∂
y
∂
x
(
a
,
b
)
∂
2
f
∂
y
2
(
a
,
b
)
]
[
x
−
a
y
−
b
]
=
f
(
a
,
b
)
+
(
x
−
a
)
f
x
′
(
a
,
b
)
+
(
y
−
b
)
f
y
′
(
a
,
b
)
+
1
2
!
(
x
−
a
)
2
f
x
x
″
(
a
,
b
)
+
1
2
!
(
x
−
a
)
(
y
−
b
)
f
x
y
″
(
a
,
b
)
+
1
2
!
(
x
−
a
)
(
y
−
b
)
f
y
x
″
(
a
,
b
)
+
1
2
!
(
y
−
b
)
2
f
y
y
″
(
a
,
b
)
黑塞矩阵更一般的形式可以写成:
Hf(x1,x2,...,xn)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂2f∂x21∂2f∂x2∂x1⋮∂2f∂xn∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22⋮∂2f∂xn∂x2⋯⋯⋱⋯∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂xn⋮∂2f∂x2n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.
H
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
[
∂
2
f
∂
x
1
2
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
⋯
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
n
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
1
∂
2
f
∂
x
2
2
⋯
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
n
⋮
⋮
⋱
⋮
∂
2
f
∂
x
n
∂
x
1
∂
2
f
∂
x
n
∂
x
2
⋯
∂
2
f
∂
x
n
2
]
.
参考资料
https://mathinsight.org/taylors_theorem_multivariable_introduction
https://mathinsight.org/derivative_matrix
https://mathinsight.org/taylor_polynomial_multivariable_examples
https://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/70260070
怎样更好地理解并记忆泰勒展开式? - 陈二喜的回答 - 知乎