资本资产定价:风险条件下的市场均衡理论
- I 效用函数、机会曲线与无风险利率
- II 资本市场均衡
- III 资本资产定价与系统性风险
威廉 · 夏普在1964年基于均值方差准则,将资产组合理论拓展到了风险条件下资本资产价格的市场均衡理论,揭示了单个资产存在无法规避的系统性风险。
[
1
]
^{[1]}
[1] 1952年,Markowitz提出了基于“均值方差”准则进行风险资产投资的行为模型。
[
2
]
^{[2]}
[2] 1958年,Tobin基于不同的风险偏好,将资产类型拓展至风险资产和无风险资产的组合,提出了流动性偏好理论。
[
3
]
^{[3]}
[3] 1964年,Sharpe在此基础之上,进一步提出资产价格的市场均衡理论,在兼容前述理论的同时,揭示了资产价格与其风险构成之间的潜在关系。
I 效用函数、机会曲线与无风险利率
对于风险厌恶的投资者而言,他们总是倾向于更高的收益和更低的波动,因此投资效用受到期望收益和预期方差的影响。
图1可以看到,投资者效用函数是一组向上弯曲的无差异曲线(
I
、
I
I
、
I
I
I
I、II、III
I、II、III),其中
E
R
E_R
ER代表期望收益,
σ
R
\sigma_R
σR代表期望方差(总体风险或者波动)。
越往右下方移动,效用值越大,因为有更高的收益和更低的波动。
投资者总是从一系列的投资组合中寻找效用值最大的投资机会,这个过程可以分为两步:
- 寻找一系列有效的投资机会;
- 从中找到效用值最大的投资机会;
一个投资机会是有效的,需满足以下定义:
- 同样的收益,更小的波动;
- 同样的波动,更高的收益;
- 更高的收益,更小的波动;
图1阴影部分代表一列投资机会,
Z
Z
Z不如
B
,
C
,
D
B, C, D
B,C,D有效,有效投资机会出现在曲线
A
F
B
D
C
X
AFBDCX
AFBDCX上,即是投资机会曲线。
考虑无风险资产组合
P
P
P和风险资产
A
A
A,无风险资产的期望收益率为
E
R
p
E_{Rp}
ERp,而预期方差为0,因为没有风险。
假设持有
α
\alpha
α比例的
P
P
P,持有
1
−
α
1-\alpha
1−α比例的
A
A
A,则组合后的期望收益和方差分别为,
E
R
c
=
α
E
R
p
+
(
1
−
α
)
E
R
a
σ
R
c
=
(
1
−
α
)
σ
R
a
E_{Rc}=\alpha E_{Rp}+(1-\alpha) E_{Ra} \\ \sigma_{Rc} = (1-\alpha) \sigma_{Ra}
ERc=αERp+(1−α)ERaσRc=(1−α)σRa
由于
A
A
A和
P
P
P之间相关性为0,这意味着所有的组合将落在射线
P
A
PA
PA上(图2所示)。对于风险资产
B
B
B而言,同理将落在射线
P
B
PB
PB上。因此投资者首先会确定出最优的风险资产组合
ϕ
\phi
ϕ,此时
P
ϕ
P\phi
Pϕ与投资机会曲线相切。
假设投资按照相同的无风险利率进行借贷,当借出时(如银行存款),组合将落在线段
P
ϕ
P\phi
Pϕ上,当贷款买入更多的
ϕ
\phi
ϕ时,组合将落在
ϕ
Z
\phi Z
ϕZ射线上。
进一步的,投资决策可以表述为以下两步:
- 确定一个效用值最大的投资机会;
- 通过无风险利率借贷,使得无差异曲线与
P
Z
PZ
PZ相切;
II 资本市场均衡
假设投资者满足以下两点假设:
- 可以按照无风险利率借贷;
- 所有投资者有一致的预期;
那么所有投资者都将买入组合
ϕ
\phi
ϕ,从而推高
ϕ
\phi
ϕ的资产价格,降低了资产期望收益,
ϕ
\phi
ϕ将向阴影区域左边移动。而其它资产价格会降低,从而提高了期望收益,向机会曲线移动。
随着资产价格不断变化,最终投资机会曲线变为一条直线(
P
A
C
B
Z
PACBZ
PACBZ),所有的资产都将进入有效投资组合中,达到市场均衡状态(图3)。
P
Z
PZ
PZ上所有的组合都可以通过购买风险资产和按照无风险利率借贷达到,同时射线上的组合都是完全正相关的,这是揭示资产价格与其风险构成关系的关键,同时也满足多元化投资理论。
III 资本资产定价与系统性风险
均衡中可以看出期望收益和风险之间存在着简单的线性关系,但没有揭露单个资产与资产组合之间的关系。假设有单个资产
i
i
i和资产组合
g
g
g,
g
g
g一定是包含了
i
i
i的。如果有一群观测点,那么会存在如图4的相关关系。
散点围绕
R
i
R_i
Ri的均值表明了总体风险
σ
R
i
\sigma_{Ri}
σRi,但部分离散是由于
i
i
i和
g
g
g之间的潜在关系,即斜率
B
i
g
B_{ig}
Big。
R
i
R_i
Ri对
R
g
R_g
Rg变化的响应,可以解释
R
i
R_i
Ri变动的部分原因,即系统性风险(systematic risk)。其余部分,和
R
g
R_g
Rg无关的则是非系统性风险。给定
σ
R
g
\sigma_{Rg}
σRg,通过
B
i
g
B_{ig}
Big来推断
R
i
R_i
Ri对
R
g
R_g
Rg变化的反应,可以预测每个资产系统性部分的预期风险。
依附于相同的经济大环境之下,多元化投资无法帮助投资者避免系统性风险,这些风险在有效资产组合依然存在。其它风险都可以通过多元化投资规避,但资产对整体经济环境的敏感性与其风险的大小是相关的。不被经济活动影响的资产只有纯利率收益,而那些受到经济活动影响的资产将获得更高的预期收益。
References
[1] Markowitz, Harry. “Portfolio Selection.” The Journal of Finance 7, no. 1 (1952): 77–91.
[2] Tobin, J. “Liquidity Preference as Behavior Towards Risk.” The Review of Economic Studies 25, no. 2 (1958): 65–86.
[3] Sharpe, William F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” The Journal of Finance 19, no. 3 (1964): 425–42.
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