层次分析法的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在很对情况下，决策者可以直接使用层次分析法（AHP）进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合、克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点
判断矩阵是层次分析法用来分析的一个方阵，方阵里的元素是评价指标之间两两比较得出的分值
这是为了确定指标的权重，一次性考虑全部指标之间的关系，往往考虑不周，因此采用了分而治之的思想，对单个指标进行研究，在这个指标下对方案之间两两比较进行评分，最后计算出该指标的权重
记方阵为A，对应的元素为 a i j \boldsymbol{a_{ij}} aij
这是为了要判断我们的判断矩阵是否是不一致的，也就是判断矩阵会出现一些逻辑上的错误，一致矩阵的目的就是用来检验判断矩阵中是否存在很大的逻辑错误（可以容忍稍微的不一致）
各行（各列）之间成倍数关系
a
i
j
=
i的重要程度
j的重要程度
\boldsymbol{a_{ij}=\frac{\text{i的重要程度}}{\text{j的重要程度}}}
aij=j的重要程度i的重要程度
a
j
k
=
j的重要程度
k的重要程度
\boldsymbol{a_{jk}=\frac{\text{j的重要程度}}{\text{k的重要程度}}}
ajk=k的重要程度j的重要程度
a
i
k
=
i的重要程度
k的重要程度
=
a
i
j
×
a
j
k
\boldsymbol{a_{ik}=\frac{\text{i的重要程度}}{\text{k的重要程度}}=a_{ij}\times a_{jk}}
aik=k的重要程度i的重要程度=aij×ajk
第一步：计算一致性指标CI
C
I
=
λ
m
a
x
−
n
n
−
1
\boldsymbol{CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}}
CI=n−1λmax−n
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵，随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值
λ
m
a
x
′
\boldsymbol{\lambda'_{max}}
λmax′
R
I
=
λ
m
a
x
′
−
n
n
−
1
\boldsymbol{RI=\frac{\lambda'_{max}-n}{n-1}}
RI=n−1λmax′−n
第三步：计算一致性比例CR
C
R
=
C
I
R
I
\boldsymbol{CR=\frac{CI}{RI}}
CR=RICI
如果CR < 0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行修正（判断矩阵一般不会完全一致）
假如CR > 0.1，此时应该对判断矩阵进行修正，往一致矩阵上调整，一致矩阵各行各列成比例
数学表示：
假
设
判
断
矩
阵
=
[
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
a
21
a
22
.
.
.
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
.
.
.
a
n
n
]
假设判断矩阵=\left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\ ... &... &... &...\\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn} \end{array} \right]
假设判断矩阵=⎣⎢⎢⎡a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤
那
么
算
术
平
均
法
求
得
的
权
重
向
量
ω
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
∑
k
=
1
n
a
k
j
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
那么算术平均法求得的权重向量\ \omega_i=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^na_{kj}}(i=1,2,...,n)
那么算术平均法求得的权重向量 ωi=n1j=1∑n∑k=1nakjaij(i=1,2,...,n)
由前面可知，一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值为0，而且当特征值为n时，对应的特征向量刚好为 k [ 1 a 11 , 1 a 12 ⋅ ⋅ ⋅ 1 a 1 n ] T ( k ≠ 0 ) \boldsymbol{k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T(k\ne 0)} k[a111,a121⋅⋅⋅a1n1]T(k=0)，分析可知 [ 1 a 11 , 1 a 12 ⋅ ⋅ ⋅ 1 a 1 n ] T \boldsymbol{[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T} [a111,a121⋅⋅⋅a1n1]T就是一致矩阵的第一列上的元素
假如判断矩阵的一致性可以接受，那么也可以仿照一致矩阵权重的求法
